carré parfait

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carré parfait

Posté le 14-02-10 à 21:27

Posté par omarion_91

bonsoir à tous alors j'aimerai avoir une piste pour l'exo suivant

Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 5 alors il y a un carré parfait entre n et 2n
voila merci d'avance je voulais fairee une récurrence sur n mais je n'arrive pas à ressortir la propriété Pn à démontrer par récurrence

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 21:36

Posté par sylowe

Bonsoir

il suffit de prouver qu'il y a au moins un entier entre $\sqrt{n}$ et $\sqrt{2n}$

Pierre

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 22:08

Posté par omarion_91

Merci pour votre réponse
comment arrivez-vous à cette conclusion?
pouvez-vous un peu détailler votre raisonnement?

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 22:57

Posté par omarion_91

svp?

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 23:00

Posté par godefroy_lehardi

Bonjour,

Entre deux carrés p² et (p+1)², il y a 2p+1 nombres.
Ce serait bien le diable s'il n'y en avait pas au moins un de pair là-dedans (appelons le 2n).
Et assez vite quand p croît, on peut montrer que n est plus petit que p², on se retrouve avec n < p² < 2n

Je te laisse rédiger ça en termes plus mathématiques

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 23:10

Posté par omarion_91

merci de votre réponse
Que pensez-vous de l'idée de Sylowe?

re : carré parfait

Posté le 14-02-10 à 23:57

Posté par elhor_abdelali

Bonjour ;

Pour tout entier naturel $n$ on a $\sqrt{2n}-\sqrt n=\sqrt n(\sqrt2-1)>1$ dès que $n>(\sqrt2+1)^2\approx5.828$ .

Ainsi dès que $n>5$ on a $3$\fbox{\sqrt n<\underb{E(\sqrt n)+1}_{p\in\mathbb{N}}\le\sqrt n+1<\sqrt{2n}}$ ie $4$\blue\fbox{\exists p\in\mathbb{N}\;/\;n<p^2<2n}$

et comme $5<3^2<10$ on a le résultat souhaité

_{bonne idée sylowe !}

re : carré parfait

Posté le 15-02-10 à 00:29

Posté par kybjm

C'est la meilleure !

Pour x

1 les propriétés suivantes sont équivalentes :
1.

2x -

x > 1
2.

2x > 1 +

x.
3.2x > 1 + x + 2

x
4.(x - 1)² > 4x
5.P(x) = x² - 6x + 1 > 0 .

Les racines de P = X² - 6X + 1 sont : 3 - 2

2 et 3 + 2

2 .

P(6) = 1 donc pour n entier

6 on a :

2n -

n > 1 ,donc

[

n ,

2n] contient un entier et donc [n , 2n] contient un "carré parfait".

Reste à voir que 5 < 3² < 10 .

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