Elimination d'une substance

Posté par melanie2302 melanie2302

Bonjour, je dois faire cette exercice mais je le trouve très compliqué, est-ce que vous pouvait m'aider s'il-vous-plait.
J'ai su répondre à la question 1, enfin je ne sais pas si c'est bon mais les questions 2 et 3 je n'y arrive pas.
Voice l'énoncé:

"On injecte une dose d'une substance médicamenteuse dans le sang à l'instant t=0 (t est exprimé en heures). On note Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t, exprimée en unités adaptées.
A l'instant t=0, on injecte dans le sang par piqûre intraveineuse une dose de 1,8 unité d'une substance médicamenteuse. On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite progressivement éliminée. On admet que le processus d'élimination peut se présenter mathématiquement par l'équation différentielle : Q'(t)= -(Q)t, où est un nombre qui sera déterminé expérimentalement"

1)Démontrer que : Q(t)=1.8e^-t
Calculer la valeur de , sachant que au bout d'une heure, la quantité de substance présente dans le sang a diminué de 30%. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-4 près.

( voila ce que je trouve:
Q'(t)=- Q(t)
Q(t)=Ce- t
Q(0)=1,8=Ce- *0=Ce0=C
C=1,8
Q(t)=1,8e- t

1-0,3=0,7 soit 70% qui reste, d'où Q(1)=1,8*0,7=1,26
Q(t)=1,8e-0,3567 )

2)Etudier le sens de variation de Q pour t appartenant à [0;+[, déterminer sa limite en +, et tracer la courbe C représentant Q dans un repère orthonormé (O;i,j)d'unité graphique 2cm.

(je trouve Q(t) = -1.8*0.3567exp(-0.3567t) mais je ne trouve pas son sens de variation et sa limite)

3)Au bout de cbn de temps la quantité de substance à-t-elle diminué de moitié ? On donnera la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 10^-2 près (on ne demande pas la conversion en heure, minutes et secondes)


Merci d'avance pour votre aide.

Posté par masterrr masterrr

Bonjour,

Tu as oublié les lambdas non ?

1. (équation différentielle du premier ordre)

Or donc donc .

Posté par masterrr masterrr

donc donc .

Posté par masterrr masterrr

2. Dérive Q et étudie son signe (sachant que l'exponentielle est strictement positive).

Posté par melanie2302 melanie2302

merci de m'avoir aidé.
comme dérivée je trouve : Q'(t)= -t*1.8e

Posté par masterrr masterrr

Bonjour,

3. Sachant que la dérivée de est (où u est une fonction), il vient : .

Or l'exponentielle étant strictement positive, sur donc Q est strictement décroissante sur .

tend vers 0 lorsque t tend vers plus l'infini, donc tend vers 0 lorsque t tend vers plus l'infini.

À toi de tracer les courbes

Posté par melanie2302 melanie2302

Merci. Il n'est pas évident comme exercice je trouve.
Comment faut-il faire pour la dernière question ?

Posté par masterrr masterrr

3. On cherche à savoir au bout de combien de temps la substance a diminué de moitié, c'est-à-dire .

Or , donc .

Voilà, tu n'as plus qu'à faire l'application numérique pour avoir une valeur approchée au centième.

Remarque : ça devrait te faire penser au temps de demi-vie des espèces radioactives (vu en physique).

Posté par melanie2302 melanie2302

Je me doutais qu'il fallait diviser par 2.
Merci beaucoup pour votre aide.
oui cette exercice ressemble beaucoup au cours de physique.

Posté par masterrr masterrr

De rien

Au plaisir.