problème de lieu géométrique

Posté par chouchou255 chouchou255

Bonjour,
J'ai un exercice de lieu géométrique sur lequel je bloque pour la démonstration.

Le cercle G de centre O et le point A (intérieur au cercle) sont fixés. On fait tourner une
équerre ABC autour du point A et on note P et Q les points d'intersection des côtés AB et
AC de l'angle droit avec le cercle.
On se propose de déterminer le lieu géométrique du milieu M de [PQ] .

Le lieu géométrique décrit par M est un cercle de centre O puisque M milieu de [PQ] et P et Q sont des points variants du cercle.
Seulement comment prouvez mon raisonnement puisque je m'appuie de la figure pour le dire mais je n'ai pas de démonstration.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par Priam Priam

Graphiquement, le lieu semble plutôt être un cercle de centre proche du milieu du segment OA.

Posté par edualc edualc

bonjour,
un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer que le lieu de on applique trois fois le théorème de la médiane :
M est un cercle de centre I milieu de [OA]

on va appliquer trois fois le théorème de la médiane :

on calcule IM² dans le triangle IPQ
On calcule IP² dans le triangle OAP
On calcule IQ² dans le triangle OAQ

on en déduit que IQ² est une constante

Posté par chouchou255 chouchou255

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Le problème est que je ne peux pas utiliser de logiciel. Je dois prouver par des homothéties et autres transformations géométriques que M décrit un cercle. Et sur ce point là je ne vois pas du tout ce que je peux faire pour le démontrer.

Help !

Merci d'avance.

Posté par edualc edualc

Bonsoir,

La méthode que je te propose utilise le théorème de la médiane ( vue après le produit scalaire).
Le logiciel ne prouve rien, il permet d'avoir des idées. C'est grâce au logiciel que je pense à considérer le milieu de [OA] et à calculer la distance IM
On peut avoir la même idée en considérant de nombreux points M


M étant un milieu, I étant un milieu, on peut essayer le théorème de la médiane.

Dans le triangle IPQ M milieu de [PQ], on a :
IP² + IQ² = 2 IM² + PQ²/2
On en déduit IM²
on raisonne comme indiqué ci-dessus

Je ne sais pas si on peut résoudre le problème par des transformations.
Si j'ai un peu de temps demain, je regarderai

Posté par chouchou255 chouchou255

Merci beaucoup pour votre réponse.

Mais je n'ai pas encore vu le théorème des médianes. Pour l'instant, nous travaillons les homothéties et les transformations géométriques. J'ai trouvé cet exercice sur internet, j'ai donc pensé que je pourrai l'utiliser comme exercice de révisions concernant le chapitre que je suis en train d'étudier.
C'est donc pour cela que j'insiste sur le fait que je dois utiliser des transformations.

Merci quand même.