factorisation de polynome

Posté par goune goune

bonsoir, j'aimerai vraiment de l'aide svp . je m'entraine pour le bac blanc car jai quelques ifficultés en maths. mais je bloque vraiment sur quelque chose.

  mon probleme se trouve en la question : Soit P le polynome tel que P (x) = 3x³ - 2x²-1  Verifiez que P(x) = (x-1)(3x²+x+1)

Je n'arrive vraiment pas a trouver la solution. jai effectué le calcul en partant de P(x) = (x-1)(3x²+x+1) et jai reussi a trouver
P (x) = 3x³ - 2x²-1 mais je n'arrive pas l'inverse. pouvez vous m'aider svp.

Merci d'avance..

Posté par sylowe sylowe

Bonsoir

la démarche inverse n'est plus au programme

Pierre

Posté par pgeod pgeod


x = 1 est solution évidente, donc P(x) se factorise par (x 1). Puis,

- soit tu effectues la division de  (3x³ - 2x²-1) par (x -1)
- soit tu recherches a, b et c tel que : P(x) = (x - 1) (ax² + bx + c)
en développant cette expression et ensuite par identification des
coefficients avec  3x³ - 2x²-1

...

Posté par Donquihote Donquihote

Salut,
Il te suffit de remarquer que 1 est racine évidente de P(normalement, pour ce genre de question il y aura toujours une racine évidente au polynome de degré 3 que tu pourra aisément trouver). Et par conséquent il est évident que tu as le droit de factorisé par x-1. Ensuite, pour etre le plus rigoureux possible, effectue la divison euclidienne de P(x) par x-1 et tu trouvera ainsi comme quotient 3x²+x+1
Voila

Posté par goune goune

Bonjour Donquihote et pgeod.

Merci pour l'aide, mais honnetement je n'arrive pas . Enfin, je veux dire je comprends que l'on peut mettre x n fcteur, ca me fait
P(x)= x(3x²-2x-(1/x))  mais pourquoi le facteur serait (x-1)?.  Merci de me repondre s'il vous plait .

Posté par pgeod pgeod

parce que x = 1  est racine du polynôme
et donc que P(x) se factorise en P(x) = (x - 1) Q(x)
c'est normalement un résultat vu en cours.

...

Posté par goune goune

Bonjour pgeod ,
Merci beaucoup pour l'aide, jai enfin trouvé la bonne factorisation!! merci !!

Une derniere petite question un peu bete surement pour vous mais la deuxieme question pour ce meme exercice est etudier le signe de P(x) sur l'intervalle    ] 0;+ ∞ [    . A mon avis je dois etudier le signe de la derivée de P(x) (dnc trouver la derivée de P(x)) non ?

Merci d'avance pour la réponse.

Marine.

Posté par pgeod pgeod


tu pars de :  P(x) = (x-1)(3x²+x+1)

tu commences per étudier le signe de (3x²+x+1) :
< 0
donc pas de racine,
donc signe constant

Puis tableau de signes d'un produit de facteurs comme en Seconde.

...

Posté par goune goune

re bonjour , jai fait comme vous m'avez conseillé donc je trouve que sur 0 a 1 p(x) est negatif , la fonction s'annule en un et de 1 a plus l'infini la fonction est positive, cela vous semble juste?

Posté par pgeod pgeod

c'est bon.

...

Posté par goune goune

!
Pouvez vous svp m'expliquer pourquoi le raisonnement que je voulais faire est faux ?
je me suis dit que comme c'etait une fonction avec un carré, la parenthese (3x²+x+1) etait positive forcement donc je n'avais pas songé a calculer delta. est-ce faux? merci beaucoup de l'aide .

Posté par pgeod pgeod


celle-ci : -3x²+1x-1 est toujours négative .
il faut toujours calculer

...

Posté par goune goune

Mince oui cest vrai :s .donc des que je vois etudier le signe de telle ou telle fonction , (lorsqu'il ya produit de facteurs,) je fas toujours delta, meme s'il ya un carré cest ça?

Posté par pgeod pgeod


oui, c'est ça.
car un trinôme
peut avoir soit 2 racines, soit une seule, soit aucune.
ce qui change donc le signe de l'expression.

...

Posté par goune goune

bonjour, d'accord, merci beaucoup.

Je viens d'entamer un nouvel exercice, je devais etudier unefonction , ses limites variations (etc..) et la deuxieme question me bloque un peu :  Soit g(x)= x³-x²+1-ln(x) ; etudier le sens de variation de cette fonction sur ]0 ; +∞[. les limites ne sont pas demandées. en deduire que pour tout x appartenant a ]0 ; +∞[ ; g(x)>0

voici mon premier probleme

je pense que pour la premiere question , il faut calculer la derviée de g(x) , jai donc trouvé g'(x)= 3x²-2x-(1/x) (jusqu'ici je pense avoir juste) . mais je me demande maintenant s'il faut que je factorise g'(x) pour avoir un produit de facteur et etudier chaque facteur.
  Je ne vois en general pas (pour ce genre d'exercice) s'il faut factoriser ou chercher delta ou autre :s . merci beaucoup de me repondre svp.

Bon week end en attendant

Posté par pgeod pgeod

ok.

Il faut bien calculer la dérivée g'(x),
puis maintenant étudier le signe de g'(x)
pour tout x du Domaine de définition : ]0; +oo[

g'(x)= 3x²-2x-(1/x) c'est bon.
maintenant, réduction au même dénominateur
puis factorisation au maximum du numérateur.

IL faut obtenir un produit ou un quotient de facteurs
puis dresser un tableau de signes pour chaque facteur
puis pour le produit (ou quotient) des facteurs.

...

Posté par goune goune

bonsoir
j'ai essayé de factoriser l'expression g'(x) mais apres l'avoir mis sur le meme
denominateur, je trouve g'(x)= (3x³-2x²-1)/x

Je n'arrive pas la factorisation de l'expression car si je mets x en facteur au numerateur, je trouve a nouveau l'expression du debut non ? pouvez vous me mettre un petit peu (pas tout) mais un petit peu sur la voix svp?
Merci d'avance

Posté par pgeod pgeod


Et qu'as-tu fait aux questions pécédentes ?

P (x) = 3x³ - 2x²-1

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Posté par goune goune

bonjour ^^ pour la question avec p(x)jai terminè, jai fini mon etude dans lintervale demandè(je vous l'avez envoyé. )
vous pensez que cest faux? pouvez vous m aider pour g'x svp? merci bon apres midi

Posté par pgeod pgeod

??

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Posté par goune goune

Avez vous reçu le mail ? Je ne comprends pas pourquoi les ??

Posté par pgeod pgeod

un mail ??
mon adresse Email n'est pas publique.
Tu n'as pas pu m'en envoyer un.

Recopie ici tes questions.

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Posté par goune goune

Bonjour, Non pas un mail mais mon message concernany ma fonction g'(x) . Je ne vous ai pas envoye     de mail je me suis mal exprimée . Je ne comprenais pas pourquoi vous parliez a nouveau de p(x). Bon apetit d'avance .        Marine

Posté par pgeod pgeod

Je ne vois pas beaucoup de différence entre :

g'(x)= (3x³-2x²-1)/x

et

P (x) = (3x³ - 2x²-1 )

voilà pourquoi je te reparle de P(x).

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Posté par goune goune

oui oui j'avais vu aussi la réference avec p(x). pour factoriser p(x) je peux faire la meme factorisation au numerateur que p(x) c'est a dire que g'(x) me donnerai g'(x) = (x-1)(3x²+x+1)/ x c'est cela?

Posté par pgeod pgeod

oui, c'est ça.

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Posté par goune goune

d'accord, une fois cela je ne comprend pas comment faire, je refais l'etude du numerateur (avec delta pour (3x²+x+1)puis l'etude avec (x-1) mais le dénominateur, je n'ai rien a faire comme on travaille sur (0; +l'infini ) si?

Posté par pgeod pgeod


effectivement, il n'a a rien à faire :
le dénominateur est toujours positif.
donc g'(x) est du signe de P(x).

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Posté par goune goune

Bonjour
je viens de finir la redaction pour g'(x). j'ai ecrit la derivée, puis lorsque je suis arrivée a g'(x)= (x-1) (3x²+x+1) / x jai ecrit ensuite que l'on travaillé sur l'intervalle 0;+linfini donc que le denominanteur etait plus grd que zero. j'ai refait le tableau de signes ce qui me donne - ; + (s'annule toujours en 1 comme dans P(x) et variation c'est fleche vers le bas puis fleche vers le haut . c'est cela?

Pour la suite de la question ou je dois deduire que pour tout x appartenant a ]0 ; +∞[ ; g(x)>0

Je dois calculer les images dans mon tableau de variation et ensuite prouver que la fonction descend en un minimum superieur a 0 strictement non?

Bon dimanche et merci d'avance .

Posté par pgeod pgeod


pour g'(x) et le ableau de varition c'est ok.

pour montrer que g(x) > 0, il suffit de calculer la valeur
du minimum de la fonction qui est g(1)... et cette valeur
devrait être positive.

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Posté par goune goune

d'accord, mais pourquoi je dois prendre 1 comme valeur et pas par exemple, 0.1 (valeur proche de l'intervalle ? ) c'est parce que le denominateur doit etre plus grd ou egal a un? merci .

Posté par pgeod pgeod


parce que la fonction décroît de 0 à 1
et que la fonction est croissante de 1 à +oo

donc la valeur minimum est atteinte pour x = 1
et c'est pourquoi, on s'intéresse à g(1).

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Posté par goune goune

d'accord, je vais le faire et je vous dis ce que je trouve apres avoir mangé.

Posté par goune goune

j'ai trouvé 0 pour  g(1)

Posté par pgeod pgeod


moi pas.

g(x)= x³-x²+1-ln(x)
g(1) = 1³-1²+1-ln(1) = ??


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Posté par goune goune

ah pardon oui j'ai pris g'(x) cest pou rca je refais

Posté par goune goune

CEST BON!! j'ai trouvé 1 !!

Posté par pgeod pgeod


c'est ça.

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Posté par goune goune

cool c'est bon .

Je dois etre embetant je sais mais je veux absolument comprendre :s
Est ce qu'on a etudié les variations de g(x) avec la derivée parce que cetait la derivée ou parce que c'etait plus facile?

Je ne comprends pas pourquoi pour p(x) j'ai directement fait avec p(x) et qu'avec g(x) jai pris g'(x) :s
Merci beaucoup de m'aider.

Posté par pgeod pgeod


on peut étudier les variations de g(x) en étudiant le signe de la différence
de f(b) - f(a) pour a < b, comme on le fait en Première.

On peut l'étudier avec la dérivée comme on le fait en Terminale.
Et cette dernière manière de faire est la plus simple.

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Posté par goune goune

Bonjour d'accord, mais pour le signe de p(x) j'aurai pu prndre aussi la derivée?

Posté par pgeod pgeod


Pour déterminer le signe d'une expression comme P(x)
qui est un produit de facteurs, il n'est pas nécessaire
d'étudier la fonction P(x) et donc d'en calculer sa dérivée P'(x)

P(x) est un simple produit de facteurs;
un simple tableau de signes suffit pour connaître le signe
de cette expression.

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Posté par goune goune

bonsoir !!
desolée j'avais un probleme avec l'ordinateur!

d'accord pour lexplication des derivées merci
j'en ai profité pour continuer l'exercice , je peux vous montrer ce que je pense qu'il faut faire svp?

Posté par pgeod pgeod

oui.

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Posté par goune goune

alors dans la suite (du même exercice toujours) j'ai la fonction f definie sur )0; + ( par
f(x) = 2 (ln(x)/x) + x²-2x+3

On me demande d'etudier ses limites en zero et en + linfini.
Je sais que ln(x)/x est une indertermination et je vois a peu pres comment faire mais je me demande s'il faut que je factorise lexpression ou que je prenne chaque terme pour l'etude...
  
  Merci de la reponse, bon week end en attendant.

Posté par pgeod pgeod


la seule FI est lim ln(x)/x quand x -> +oo
Et encore c'est une FI qui est vue en cours : quand x --> +oo, lim ln(x)/x = 0

Pour le reste il n'y a pas de forme indéterminée.
Etudie d'un côté lim de : ln(x)/x et de l'autre lim du polynôme : x²-2x+3
Puis tu fais la somme des limites.

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Posté par goune goune

bonsoir,
j'ai réalisé 'etude de f(x)  en 0+ et en + comme demandé dans ma question:

J'ai trouvé : lim de 2 (ln(x)/x) quand x 0+ = -  PAR SOMME DES LIM

              et de x²-2x+3 = 3                                                     LIM DE f(x)quand x 0+  =  -


pour les lim en + , par somme des lim jai trouvé lim f(x) quiand x + = +



Pensez vous que c'est cela? car comme pour les lim en + j'ai trouvé 0 pour lim de 2(ln(x)/x) .

De plus, on me demande le sens de variation de f(x) donc si je fais correspondre mes reponse jemettrai que f(x) croit de 0 a + linfini non ? (vu les reponses .

Merci  de repondre, bonne nuit d'avance.

Posté par pgeod pgeod


pour les limites, c'est parfait.

pour le sens de varation, la conjecture est probable.
pour le démontrer calcule la dérivée f'(x) --> on va retrouver g(x).

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