puissance 12

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puissance 12

Posté le 15-02-10 à 22:06

Posté par omarion_91

Bonsoir à tous alors voilà j'aimerais un petit tuyau pour pouvoir trouver le coefficient de x^7y^3z² dans le développement de (x+2y+3z)^12
j'ai bien pensé à la formule du binôme de Newton mais çà me parait assez fastidieux. Vu que la formule du binôme marche avec (a+b)^n je pensais poser a=x et b=2y+3z et utiliser le triangle de Pascal pour les coefficients
Qu'en pensez-vous?

re : puissance 12

Posté le 16-02-10 à 09:44

Posté par Simpom

Salut.

Moi ça me paraît pas une mauvaise idée le binôme de Newton, et pas si fastidieux que ça : en l'appliquant deux fois, je trouve :
$\displaystyle (a+b+c)^n=\sum_{p=0}^n\sum_{q=0}^{n-p}C_n^pC_{n-p}^qa^pb^qc^{n-p-q}$
(à vérifier tout de même...)

En prenant a=x, b=2y et c=3z, tu dois pouvoir en déduire la valeur du coefficient recherché.

re : puissance 12

Posté le 16-02-10 à 19:07

Posté par omarion_91

merci à vous c'est vrai que l'idée semble marcher

re : puissance 12

Posté le 17-02-10 à 14:26

Posté par cailloux

Bonjour,

Dans le développement de $(a+b+c)^{12}$ , le terme en $a^7b^3c^2$ provient:

Pour le terme en $a^7$ , du produit de 7 termes $(a+b+c)$ au nombre de: $\left(12\\7\right)$ termes.

Puis pour le terme en $b^3$ , du produit de 3 termes $(a+b+c)$ au nombre de $\left(5\\3\right)$

Enfin pour le terme en $c^2$ , du produit des 2 termes restants au nombre de $\left(2\\2\right)$

Ce qui donne le coefficient de $x^7y^3z^2$ : $2^3\times 3^2\times \left(12\\7\right)\left(5\\3\right)$

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