Equation différentielle

Posté par minimonk minimonk

Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un Dm de math dont je n'arrive pas un exercice.
On considère l'équation différentielle y'-y=cos x   (E)
   1) Déterminer les réels a et b tel que f définie par f(x)=a cos x + b sin x  soit solution de (E)
je n'arrive pas à trouver a et b mais j'ai fait:  
y'=y + cos x  et de la forme y'=ay+b  donc (E)=ke^ax  -b/a  avec  a=1  et b=cos x
(E)=ke^x - cos x

   2)Résoudre l'équation y'-y=0   (F)
Je n'ai pas réussi

   3) prouver que g est solution de (E) si et seulement si g-f est solution de (F)
J'ai fait:
g est solution de (E)
g'-g=cos x               pour tout x
g'-g=f'-f               car f est solution de (E)
(g-f)'-(g-f)=0
g-f est donc solution de (F)

   4) En déduire les solutions de (E)
g est solution de (E)   d'aprés le 3) g-f est solution de (F)
d'aprés le 1) g-f=ke^x - cos x
              g=f + ke^x - cos x
              g= a cos x + b sin x + ke^x - cos x                 ( il faut remplacer a et b par les solution trouvées à la quetions 1)

   5) Trouver la solution de (E) qui vaut 1 en /2
Je ne comprend pas la question, est ce que c'est la même chose que: trouver la solution de (E) telle que h(/2)=1 ?

Merci pour ceux qui veulent bien réfléchir sur cet exercice.

Posté par lafol lafol

Bonjour

selon toi, cos x est une constante ?

Posté par minimonk minimonk

Bonjour,
non cos x n'est pas une constante donc je suppose que mon résultat du 1) est faut car bcos x

Posté par lafol lafol

absolument !
tu as juste à calculer f'(x), et à remplacer dans l'équation y' par f'(x) et y par f(x), et regarder ce que ça donne pour a et b ....

Posté par minimonk minimonk

Bonjour,
J'ai calculé f'(x) j'obtiens -a sinx + b cos x
et aprés j'ai remplacé dans y'-y=cosx
-a sin x + b cos x - a cos x - b sin x = cos x
(-a+b) cos x + (-a-b) sin x = cos x
Par identification des coefficients:
-a+b= 1 -a+b=1 2b=1 b=1/2
-a-b= 0 -a= b a= -b a= -1/2

f définie par f(x)= -1/2 cos x + 1/2 sin x est solution de (E)
Je pense avoir bon pour cette question.

Question 2:
y'-y=0
y'=y  est de la forme y'=ay  avec a =1
donc y=ke^x

Question3:
g est solution de (E)
g'-g=cosx
g'-g=f'-f      car f est solution de (E)
(g-f)'-(g-f)=0
donc g-f est solution de (F)

Question 4:
g est solution de (E)   d'aprés le 3) g-f est solution de (F)
g-f=-1/2 cos x +1/2 sin x
g=f - 1/2 cos x + 1/2 sin x
g= k e^x - 1/2 cos x + 1/2 sin x

est solution de (E)

Question 5:
Je ne comprend pas la question, est ce que c'est la même chose que: trouver la solution de (E) telle que h(/2)=1 ?

Merci, de me corriger si tout cela est faut.