Logartihme, Fonctions. Suites . Equa diff

Posté par nabgrid nabgrid

Bonjour, j'aurais besoin d'un aide pour les problèmes suivants :

Exercice 1 :

Enoncé: On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.

Un = le nombres en million de foyers ayant un téléviseur à écran plat l'année n . On pose n=0 en 2005, U0= 1 et, pour tout n ≥0, Un+1= 1/10 Un(20-Un)

1) Montrer par récurrence que, pour tout n∈N 0≤Un≤ Un+1 ≤ 10

Solution: Pour l'étape d'initiation tout vas bien, mais je bloque pour l'étape d'hérédité:

* On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant. Supposons qu'elle est vraie à un certain rang N, alors:
0 ≤ U_N ≤ U_N+1 ≤ 10
maintenant il faut que je montre que U_N+1 ≤ U_N+2 ≤ 10
Pour cela, je sais que U_N+2 = 1/10 U_N+1 ( 20- U_N+1 )
Mais aprés je ne sais quoi faire pour arriver à 0 ≤ U_N ≤ U_N+1 ≤ U_N+2 ≤ 10
Pour la question suivante, il faut montrer que U_n converge, est ce que le simple fait qu'elle soit continue et décroissante cela indique qu'elle
converge vers une limite "l" dont je préciserai la valeur par le calcul de la limite, (car auparavant on ma fait étudier le sens de variation de f(x)= 1/10 x(20-x)qui est croissante sur [0;10] et décroissante sur [10;20] )?

2) Enoncé: Soit g(x) le nombre exprimé en millions de tels foyers l'année x. On pose x=0 en 2005 g(0)=1 et g est une solution de l'equa diff:
(E): y'=1/20 y(10-y)

On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0;+∞[ et on pose z=1/y
Montrer que y est solution de E si et seulement si z est solution de l'équa diff

(E1): z'= -1/2 z + 1/20

Solution:[/U] Si y est solution de (E) alors y'= 1/20 y ( 10-y). Or, z= 1/y
Si z est solution de (E1) alors z'= -1/2 z + 1/20

Or, z'= -1/y² [ c'est comme si on avait 1/x sauf que l'inconnue est une fonction ]

Mais lorque je remplace j'obtiens:

(E1): -1/2 z + 1/20 = - 1/2 * 1/y + 1/20 ≠ -1/y² donc z n'est pas la solution...
Peut être que ma dérivée est fausse alors j'ai essayé :

z'= 1/y' = 1/(1/20*y(10-y) mais là aussi 1/(1/20*y(10-y) ≠ - 1/2 * 1/y + 1/20 .

[U]Enoncé: Résoudre (E1) et en déduire les solutions de (E)

Solution: J'ai trouvé comme solutions de E(1) les fonctions telles que :

z(x) = k exp(-1/2x) + 1/10 pour en déduire les solutions de (E), puisque y=1/Z alors les fonctions solutions sont telles que y(x)= 1/(k exp(-1/2x) + 1/10)
le hic c'est qu'aprés, lorsque je déduis g(x) qui est une des solutions de (E) je trouve g(x)= 1/ (9/10*exp(-1/2x)+1/10) ce qui ne correspond pas à ce qui est dit à la question suivante qui demande de montrer que g(x)= 10/( 9exp(-1/2x)+1 sur [0;+∞[

Pour le calcule de la limite de g(x) j'ai trouvé 10, cela représente donc 10 millions de foyers mais ce que je ne comprends pas c'est comment traduire
le x qui tent vers + ∞, puis que x est l'année, x qui tent vers + l'infie serait une sorte "d'éternite", je ne sais pas ...


Exercice 2:
** un topic = un problème !! **

Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter !

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

1) L' hérédité:

La fonction est croissante sur (à démontrer éventuellement).

Donc si , alors:



Soit:

et l' hérédité est prouvée.

2) La suite est croissante et majorée (par 10): elle converge donc vers

Cette une suite récurrente définie par avec continue sur

Donc sa limite est solution de l' équation

soit:



or donc et

c' est un début...

Posté par nabgrid nabgrid

Je te remercie !

J'aurais encore une question, pourrais-tu me mettre sur la voie si tu le peux ?

Pour la question:  Résoudre E1 et en déduire E2, j'ai trouvé les solutions de E : z(x) = k exp(-1/2x) + 1/10 comment puis-je en déduire celles de E ?

Posté par cailloux cailloux

Re,

2) et

solution de solution de



en posant

donc

et

La limite à l' infini est effectivement 10. L' éternité mathématique correspond à un temps réel très long...



Multiplie par 10 numérateur et dénominateur de ce que tu as trouvé

Posté par nabgrid nabgrid

Merci beaucoup !

J'aurais encore besoin d'aide :

Enoncé : On a la fonction f(x)= x/ln(x) sur ]1; +∞ [ on a calculer les limites de f en 1 et en +∞ et étudier le sens de variation : décroissante sur ]1; e[ et croissante sur ]e;+∞[ ensuite on nous donne la suite U0= 5 et Un+1= f(Un). En annexe nous est donné Cf et il est demandé de placé U1 et U2
Question:  En étudiant de 2 mannières différentes la limite de la suite f(Un) démontrer que f(l)=l en déduire la valeur de l .

Pour la première méthode faut-il utiliser le théorème de convergence monotone des suites ?
Pas d'idée pour une seconde méthode .

Posté par cailloux cailloux

Un exercice par topic: c' est la règle sur l'

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