Suite et Logartihme

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Suite et Logartihme

Posté le 17-02-10 à 23:20

Posté par nabgrid

Exercice 2:

On a la fonction f(x)= x/ln(x) sur ]1; +∞ [ on a calculer les limites de f en 1 et en +∞ et étudier le sens de variation : décroissante sur ]1; e[ et croissante sur ]e;+∞[ ensuite on nous donne la suite U0= 5 et Un+1= f(Un). En annexe nous est donné Cf et il est demandé de placé U1 et U2

Il faut démontrer que pour tout entier naturel n, Un ≥ e et démontrer que Un converge vers un réel l

Solution:

le tableau des signes nous montre que f(x) est décroissante sur ]1;e[
et croissante sur ]e; + ∞[ pour montrer que U_n ≥ e faut il se servir du graphique où l'on voit que les terme U_1, U_2 etc... convergent vers e≈2.7
?
Enoncé: En étudiant de 2 mannières différentes la limite de la suite f(Un) démontrer que f(l)=l en déduire la valeur de l .

Solution: les 2 manières pour étudier la limite de f(U_n) faut il le faire graphiquement ? Puisqu'on a pas d'expréssion explicite
pour U_n le seul moyen serait de le voire graphiquement car on connait les termes U_à U_1 et U_2 et on voit qu'il convergent vers e.

Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter !

re : Suite et Logartihme

Posté le 18-02-10 à 18:19

Posté par cailloux

Bonjour,

Pour montrer que $u_n\geq u_{n+1}\geq e$ on fait une récurrence.

Pour l' initialisation, avec $u_1=\frac{5}{\ln\,5}$ , on a bien $u_0\geq u_1\geq e$

Pour l' hérédité:

On suppose $u_n\geq u_{n+1}\geq e$

Par croissance de $f$ sur $[e,+\infty[$ :

$f(u_n)\geq f(u_{n+1})\geq f(e)$

c' est à dire:

$u_{n+1}\geq u_{n+2}\geq e$

L' hérédité est prouvée.

$(u_n)$ décroissante minorée converge vers $\ell$

$\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim_{X\to \ell}f(x)=f(\ell)$ par continuité de $f$ sur $[e,+\infty[$

et $\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell$

donc $\ell=f(\ell)$

On en déduit que $\ell$ est solution de l' équation $x=f(x)$

soit $x(\ln\,x-1)=0$ avec $x\geq e$

donc $\ell=e$

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