équations différentielles

Posté par joliemiss joliemiss

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour rendre un dm. Le problème est posé de cette manière là:
Une ville comporte 10 000 habitants. À huit heures du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle par la
radio locale. On note f(t) la fréquence des personnes connaissant la nouvelle à l'instant t (exprimé en heures). On
choisit huit heures du matin comme instant initial t = 0. (On a donc f(0) = 0,01)
On me dit que la nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation f'(t) vérifie la relation: f'(t) = 1,15 f(t) (1-f(t))

1. On définie sur la fonction z tel que z = f ne s'annulant pas
a. on me demande de montrer que z est solution de l'équation différentielle suivante : y' = -1,15y + 1,15

b. ensuite on me demande d'en déduire une expression de f(t)

c. puis de déterminer le tableau de varaitions de la fonction f

2. et après il faut que je détermine à partir de quelle heure, 99% de la population de cette ville connaitra la nouvelle.


1.a. moi j'ai pensé faire quelque chose comme ça:
si z est solution de l'équation différentielle alors z' = -1,15z + 1,15
or    z =
donc  











z' = 1,15z (1 - z)

donc z est solution de l'équation différentielle.
est-ce comme cele qu'il fallait procéder???

1.b. si z est solution de l'équation différentielle alors l'est aussi non?
mais n'est-je pas le droit de dire que si alors f est aussi solution de l'équation différentielle???
cette question me pose problème quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait?

Posté par sylowe sylowe

Bonjour

la rédaction est presque bien

tu enlèves juste le premier donc et tu mets "revient à" ou abusivement ( ne chipotons pas

tu as maintenant

f solution de   est équivalent à dire que 1/f vérifie
sachant que

donc tu résous cette dernière équation différentielle, elle te donne l'expression de
d'où tu en tires f(t)

Pierre

Posté par joliemiss joliemiss

1/f vérifie y'=-1,15y+1,15
Toutes les fonctions sont du type g_k: x ke^-1,15x-(1,15/-1,15)
(car d'après le cours les solutions de l'équation différentielle y'=ay+b sont toutes les fonctions g_k définies sur par g_k(x)=ke^ax-(b/a), ici a=-1,15 et b=1,15)
En définitive toutes les fonctions sont du type g_k: x ke^-1,15x +1.
En sachant y(0)=1/0,01=100:
g_k(0)=100 ke^-1,15*0+1=100
               ke⁰+1=100
               k*1+1=100
               k+1=100
               k=99
L'unique fonction g est solution de y'=-1,15y+1,15 vérifiant y(0)=100 est la fonction définie sur par g(x)=99e^-1,15x+1.
Ainsi 1/f(t)=99e^-1,15x+1.
On peut en déduire que f(t)=
D'où f(t)=
C'est cela???
merci beaucoup de votre aide en tout cas.

Posté par joliemiss joliemiss

correction f(t)=
est-ce que j'ai juste???