Equation cartésienne d'un plan.

Posté par Areina Areina

Bonjour à tous !

Voici un exercice de DM qui me donne du fil à retordre ! Pouvez vous svp m'aider?

On considère les plans P et Q définis par les équations cartésiennes :

P : x-2y+3z-5=0 et Q : x+y+z+1=0

1) Expliquez pourquoi les plans P et Q sont sécants.
Leur droite commune est notée d.

Je suppose ici de prouver que les plans P et Q sont sécants par le produit scalaire de leurs vecteurs normal qui est égal à 0 ?

2) Prouvez que la droite d est l'ensemble des points :

M( -5/3z+1 ; 2/3z-2 ; z ) avec z réel.

Ici, vide complet

3) Déterminez un vecteur directeur de la droite d.

Je suppose l'existence d'un lien avec la question précédente?

4) Déterminez une équation du plan R perpendiculaire à la fois à P et Q et passant par le point A(2;5;-2)

Merci de votre aide...!

Areina

Posté par pgeod pgeod


1) Expliquez pourquoi les plans P et Q sont sécants.

les vecteurs normaux sont non colinéaires.

...

Posté par Areina Areina

Oui, autant pour moi je viens de faire ça sur le papier en plus !!

Pour la 2), c'est vraiment le vide complet ! :S

Merci à vous

Areina

Posté par pgeod pgeod


pour la 2/

résous le système :

x-2y+3z-5=0
x+y+z+1=0

cherche x et y en fonction de z

...

Posté par Areina Areina

Donc, pour en déduire l'équation de la droite d, dois-je utiliser les coordonnés du points M? Celle-ci passe par ce point et donc je peut en déduire cette équation? Je ne sais pas pourquoi mais je n'arrive pas à voir le truc là ^^

Areina

Posté par pgeod pgeod


x-2y+3z-5=0
x+y+z+1=0

<=>

x - 2y = -3z+5
x + y  = -z-1

système de 2 équations d'inconnues x et y

...

Posté par Areina Areina

D'accord, j'étais partit sur la bonne piste sur le papier !

Donc pour la 4), je suppose que cela implique encore un système ?!

Merci beaucoup

Areina

Posté par pgeod pgeod


4) Déterminez une équation du plan R perpendiculaire à la fois à P et Q et passant par le point A(2;5;-2)

ce plan doit être perpendiculaire à (d) et passer par A.

...

Posté par Areina Areina

Très bien, je travail ça demain et je vous tiens au courant si jamais je bloque encore !

Merci à vous !

Areina

Posté par Areina Areina

Je bloque complétement pour les deux dernières...(erreur de ma part d'ailleurs, il ne me faut pas l'équation de d mais un vecteur directeur).
Pouvez vous me décrire exactement ce qu'il faut faire pour que je comprenne une bonne fois pour toute svp?:s

Merci beaucoup

Areina

Posté par pgeod pgeod


M( -5/3z+1 ; 2/3z-2 ; z ) avec z réel.

un vecteur directeur de cette droite : (z = 0) : n(1; -2; 0)

le plan R recherché est défini par : AM.n = 0

...

Posté par Areina Areina

Oui et ce même plan R, passe par A. Mais je ne vois pas le lien là !

Dsl mais j'ai un gros blocage là ^^

Areina

Posté par pgeod pgeod


A et M R

le vecteur AM appartient au plan R
ce vecteur est ortho à n.

d'où AM.n = 0
....... à transcrire sous la forme xx' + yy' = 0

...

Posté par Areina Areina

Ok mais je ne vois vraiment pas tout la suite pour déterminer l'équation...pouvez vous me montrer cette méthode?!

Je suis vraiment désolé mais j'ai décroché là ! :s

Areina

Posté par pgeod pgeod

A (2 ; 5 ; -2)
n(1 ; -2 ; 0)

AM (x-2; y-5; z+2)

AM.n = 0
<=> 1 (x-2) - 2 (y -5) + 0 (z +2) = 0
<=>  (x-2) - 2 (y -5) = 0
........... à simplifier
----------- c'est l'équation cartésienne de R.

...

Posté par Areina Areina

Ok, je regarde ça demain soir et je vous fais parvenir ma conclusion afin que vous puissiez vérifier !

Merci

Areina