Equation différentielle et modèle d'évolution

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

Bonjour!

J'ai un DM de maths composé de deux exercices sur le thème des équations différentielles et des modèles d'évolution. J'ai beaucoup de mal sur ce chapitre à vrai dire.. J'ai malgré tout réussi à faire le premier exercice mais je bloque complètement sur le second...

En voici l'énoncé:

On estime que, pendant une phase d'apprentissage, l'efficacité d'un individu croît jusqu'à une valeur maximale: le "rythme de croisière".
Supposons qu'une personne travaillant sur une technique nouvelle produise 5 unités le premier jour, alors que la production attendue est de 40 unités par jour.

1) Un modèle discret

Soit u_n la production au n-ième jour; alors u₁ = 5 et on fait l'hypothèse que u_n+1 = 0,8u_n + 8.

a) Exprimer U_n en fonction de n.
b) Au bout de combien de jours le rythme de croisière est-il atteint? (arrondir u_n à l'entier le plus proche).

2) Un modèle continu

Soit f(t) la production au t-ième jour; alors f(1) = 5 et on considère que f'(t) = 0,22 * (40 - f(t)).

a) Exprimer f(t) en fonction de t.
b) Même question qu'en 1)b).

Pour le 1)a) j'ai tenté quelque chose mais je pense que c'est complètement faux :/

On sait que u₁ = 5 et u_n+1 = 0,8u_n + 8

Posons pour tout n, v_n = u_n -
Comme u_n+1 = 0,8u_n + 8 et = 0,8+ 8
Il vient ainsi par différence, u_n+1 - = 0,8 (u_n - ), soit v_n+1 = 0,8v_n
Ainsi la suite (v_n) est géométrique de raison 0,8.

est l'unique solution de l'équation 0,8x + 8 = x
0,8x - x = 8
0,2x = 8
x = 40
Comme v₁ = u₁ - 40 = -35

On en tire v_n = -35 * 0,8ⁿ
puis u_n = v_n + 40
soit u_n = 40 - 35 * 0,8ⁿ

J'ai essayé de suivre une méthode qui ressemblait un peu dans mon livre, mais je suis totalement perdue et je doute fort que ce soit juste
De même je ne vois pas comment répondre aux autres questions... :/

Aidez moi s'il vous plait! Merci beaucoup d'avance >_<

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Le 1a) est juste (un peu de confiance en toi, que diable )

Pour le 1b), si on arrondit u_n à l'entier le plus proche, alors on considèrera que l'objectif est atteint dès que u_n>39,5

On écrit donc 40-35(0,8)ⁿ>39,5

Je te laisse poursuivre ?

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

Merci beaucoup pour ta réponse! =)
Contente de savoir que j'ai juste à la question 1

J'ai donc essayé de poursuivre la 1)b) et je trouve
n < 19
Le ryhthme de croisière serait donc atteint en 19 jours?
(si j'ai faux je mettrai le détail :/)

Ensuite pour la question 2)a) j'ai un peu de mal à voir comment commencer :/ (c'est mon problème principal en mathématiques)

Merci encore =)

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

En fait, on arrive au résultat suivant n > -ln70/ln0,8 = 19,03
donc le régime de croisière est atteint pour n=20
(en faisant le calcul avec n=19, on trouve u₁₉=39,49...)

Pour la 2a), on est face à une équation différentielle du type y'+0,22y=8,8
Donc on résout d'abord l'équation homogène y'+0,22y=0
puis on cherche une solution particulière pour l'équation générale

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

Bonjour!

Ah oui, j'ai vu où j'ai fait une faute bête dans la 1)b) ^^;
Je trouve bien comme toi maintenant =)

Pour la 2)a) j'ai donc résolu l'équation homogène y' + 0,22y = 0
Je trouve que les solutions sont les fonctions x -> Ce^-0,22x
J'ai trouvé après que la solution générale de l'équation est x -> Ce^-0,22x + 40
Comment trouver la solution particulière après? :/

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

Désolé de faire à nouveau un post mais je pense avoir trouvé >_<

Dans l'énoncé, on nous dit que f(1) = 5
donc on peut calculer C, ici je trouve C = -35e^0,22
Ce qui donnerait f(t) = -35e^0,22e^-0,22t + 40
Et j'ai vérifié en calculant f(1) je trouve bien 5 =)

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

J'ai donc poursuivi l'exercice avec ce que j'ai trouvé pour la 2)a) et je trouve n=21 pour la 2)b)
Je ne suis pas sûre donc s'il était possible d'avoir une confirmation ou une correction ce serait très gentil (je dois rendre mon devoir demain ).
Merci beaucoup en tout cas, tu m'as vraiment énormément aidée à avancer dans mon exercice =)

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Effectivement, on trouve t > 20,31 donc on prendra t = 21 s

Ca prouve que les résultats dépendent en partie du type de modèle qu'on utilise.

On retrouve cette propriété dans les problèmes d'optimisation (que tu rencontreras peut-être plus tard) : le résultat optimal sur un modèle discret n'est pas forcément celui qu'on trouve en prenant les parties entières des valeurs optimales trouvées avec un modèle continu.

Bon courage pour la suite

Posté par Saya-Kun Saya-Kun

D'accord, merci beaucoup à toi! =D

Bonne soirée ^__^

Posté par jpdl jpdl

Désolé de te décevoir (et de poster ça un an plus tard) mais ton 1)a) était faux !
Tu devais obtenir vn = -35 * 0,8^n-1 car le -35 c'était v1 et non v0 ! Par conséquent ton Un était faux aussi et au final on trouvait bien 21 jours pour atteindre le rythme de croisière...