suite et limite

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suite et limite

Posté le 20-02-10 à 16:58

Posté par eloflo

bonjour, j'ai un travail de recherche à réaliser, voici l'énoncé :
Démontrer que la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=2+ln(un) converge vers un réel l tel que 3.1<l<3.2.
J'ai déjà démontré par récurrence que la suite (un) est croissante et est donc minorée par 1 d'où un+1 > 2.
Mais je suis bloquée ensuite pour prouver qu'elle est majorée et donc convergente (peut-être qu'il faut trouver un encadrement avec deux autres suites).
Merci beaucoup pour votre aide

Eloflo

re : suite et limite

Posté le 20-02-10 à 18:52

Posté par cailloux

Bonjour,

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2+\ln\,x$ sur $]0,+\infty[$

En étudiant les variations de $g$ définie par $g(x)=f(x)-x$ sur $]0,+\infty[$ , et en utilisant le TVI, on prouve que l' équation:

$f(x)=x$ a 2 racines positives dont la plus grande, appelons la $a$ , est comprise antre 3,1 et 3,2. On appelle $b$ la plus petite ( $0<b<1$ ).

$f$ est croissante sur $]0,+\infty[$ (à montrer)

Donc pour tout $b\leq x\leq a$ , $f(b)\leq f(x)\leq f(a)$

c' est à dire $b\leq f(x)\leq a$

Ainsi si $x\in [b,a]$ , alors $f(x)\in [b,a]$

On est en mesure m

re : suite et limite

Posté le 20-02-10 à 18:58

Posté par cailloux

Fausse manoeuvre

On est en mesure maintenant de démontrer par récurrence que:

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $b\leq u_n\leq a$

On a bien $b\leq u_0\leq a$

et si $u_n\in [b,a]$ , alors $u_{n+1}=f(u_n)\in[b,a]$

L' hérédité et la propriété sont prouvées

La suite $(u_n)$ est majorée par $a$

Etant croissante, elle est convergente (elle converge vers $a$ d' ailleurs)

re : suite et limite

Posté le 21-02-10 à 00:11

Posté par eloflo

oh merci beaucoup pour cette réponse si rapide

En fait j'avais trouver la fonction f mais je ne pensais pas à chercher ses racines pourtant ça paraissait quelque peu évident -___-
J'avais le début et la fin du raisonnement il ne me manquait plus que cet élément !
Merci encore et bonne soirée.
Eloflo

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