Défi : fonction !

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 Défi : fonction ! Posté le 21-02-10 à 01:17
Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali 

Bonjour ;

Soit  une fonction continue qui prend toutes ses valeurs un nombre fini de fois .

Prouver que  prend au moins une de ses valeurs un nombre impair de fois .  bonne réflexion !
 re : Défi : fonction ! Posté le 23-02-10 à 20:08
Posté par blang blang

Bonsoir 

Es-tu certain de ce résultat, elhor ?
 re : Défi : fonction ! Posté le 23-02-10 à 20:45
Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali 

Bonsoir blang

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tu as un contre exemple ?! 
 re : Défi : fonction ! Posté le 23-02-10 à 22:04
Posté par verdurin verdurin

Bonsoir, l'image continue d'un compact est un compact.

Ce qui aide à justifier l'affirmation  d'elhor_abdelali
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une justification approximative

On a f([0;1])=[a;b]

Posons que f-1(a)=A. Si A n'a pas un nombre pair d'éléments c'est fini.

Il est facile de voir que l'on doit alors avoir f(0)=f(1) sinon en passant par une de ses valeurs on a un nombre impair de fois cette valeur.

Ensuite on considère deux valeurs consécutives x_0 et x_1 solutions de f(x)=f(0).

Puis on recommence le même raisonnement sur [x_0;x_1] comme f ne prend qu'un nombre fini de fois la valeur f(0) on ne peut pas continuer indéfiniment.

 Il y a donc un intervalle [u;v][0;1] tel que f(u)=f(v) et f(x)f(u) x dans [u;v] (ou f(x)f(u) x dans [u;v] )

Il me semble que la conclusion est proche...

 re : Défi : fonction ! Posté le 23-02-10 à 22:40
Posté par verdurin verdurin

Je me suis compliqué la vie pour rien dans le post précédent
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soit u et v deux solutions consécutives de f(x)=a où a=Inf{f(x)|x[0;1]

On a donc f([u;v])=[a;c] et f(x)>f(a) sur ]u;v[

 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 12:19
Posté par blang blang

alhor> Quelque chose dans ce goût-là ?

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 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 12:20
Posté par blang blang

Désolé d'avoir écorché ton nom, elhor 
 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 12:23
Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour à tous,

Ça me rappelle un oral de l'X

Citation :
Existe-t-il une fonction continue de  dans  telle qu'elle prenne exactement deux fois toutes les valeurs de  ? trois fois ? un nombre pair de fois ?

Ma prof m'a donné une idée de la preuve, c'est zoli !

 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 12:43
Posté par blang blang

Bonjour gui_tou 

Trois fois, oui :

 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 13:44
Posté par blang blang

gui_tou> pour exactement deux fois, la réponse est non ; la démonstration me semble aisée, en voici le principe : si f(a)=f(b) avec a<b, f atteint son maximum sur [a;b] en c. f(c) n'est pas atteint à l'extérieur de [a;b], sinon le théorème des valeurs intermédiaires prouverait qu'une valeur est au moins atteinte trois fois par f. Donc f(c) est atteint une deuxième fois dans [a;b] : par exemple en d. f atteint son minimum sur [c;d] en e et il est facile de voir qu'une valeur est atteinte au moins quatre fois par f.
 re : Défi : fonction ! Posté le 24-02-10 à 14:38
Posté par Camélia Camélia 

Bonjour à tous!

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Moi aussi j'ai calé sur les extremums locaux qui pouraient s'accumuler... 
 re : Défi : fonction ! Posté le 25-02-10 à 10:04
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

blang >>

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Ton dernier extremum est atteint 3 fois il me semble...
 re : Défi : fonction ! Posté le 25-02-10 à 10:08
Posté par blang blang

Ayoub>

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A gauche, les extrema locaux s'empilent (il y en a une infinité) mais 0 n'est atteint que deux fois.
 re : Défi : fonction ! Posté le 26-02-10 à 19:30
Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali 

blang >> 

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Il me semble que ton contre exemple est bon : je prendrai pour simplifier  affine par morceaux (courbe en ligne brisée ayant les  pour abscisses des sommets) 

le comportement fractal au voisinge de  n'affecte pas la continuité en   bravo !

Voici l'origine de l'histoire  
 re : Défi : fonction ! Posté le 06-06-10 à 21:27
Posté par perroquet perroquet

Bonjour.

Je fais remonter ce topic.
blang a montré que l'exercice proposé par elhor était faux.

Je propose cette version:
Citation :

Soit f une fonction continue sur [0,1], à valeurs dans , strictement monotone par morceaux sur [0,1] (ce qui signifie que [0,1] est la réunion d'une famille finie de segments sur lesquels la restriction de f est strictement monotone).

Montrer qu'il existe une valeur qui est atteinte par f un nombre impair de fois.

 re : Défi : fonction ! Posté le 22-07-10 à 13:55
Posté par Noflah Noflah

Bonjour à tous,

Officiel de la Taupe 2009/2010 (n°16), page 7 exercice 26 : 

Soit une fonction continue de [0;1] dans R qui ne prend ses valeurs qu'un nombre fini de fois. Montrer que l'une au moins de ces valeurs est prises un nombre impair de fois.

Ecole Polytechnique-ENS Cachan - option PSI.

Je sais que ça a déjà du arriver, mais cela ne vous étonne pas qu'un sujet d'ENS soit faux ? Etes vous certain que Blang a fourni un contre exemple valable ?
  re : Défi : fonction ! Posté le 22-07-10 à 14:16
Posté par Onoff Onoff

Sur un autre forum (là:), il semble qu'ils en soient arrivés à la même conclusion.

(j'ai également posé ma question  sur ce forum (ici:) ; pour l'instant pas de réponse non plus).

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