Challenge n°87

Posté par puisea puisea

Bonsoir,

J'ai un récipient de billes. Chacune porte un numéro compris entre 1 et 99. Tous les numéros ne sont pas utilisés et le récipient contient moins de 99 billes. Chaque bille porte un numéro différent. J'ai choisi les numéros de telle sorte que lorsque vous prenez trois billes au hasard, la somme de leurs numéros est un multiple de six.

Le récipient ne peut contenir 99 billes, car certaines combinaisons de numéros ne sont pas des multiples de six. Prenons par exemple, 1 + 2 + 4 = 7. Cela signifie que si j'inclus les billes 1 et 2, je ne peux pas inclure la bille 4. Ou prenons un autre exemple, 5 + 23 + 30 = 58. Etant donné que le nombre 58 n'est pas un multiple de 6, ces trois numéros ne peuvent pas se trouver ensemble dans le sac. Je dois choisir une combinaison de billes dont la somme des numéros de trois d'entre elles, quelles qu'elles soient, est un multiple de 6.

Quel est le nombre maximum de billes que le récipient peut contenir ?

Bonne chance à tous.
Clôture ce week end.

Posté par timo23 (invité)

je ne justifie pas mais je serai bien partant pour 16 billes...
oula, je le sens mal, celui la!

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Si les nombres peuvent être tirés au hasard, c'est qu'ils doivent avoir une caractéistique commune . En partculier on ne peut compter sur une combinaision comme, par exemple, somme de 2 multiples de 3 impair et d'un multiple de 3 pair.

Tous le nombres peuvent s'écrire sous le forme :
6*k, 6*k+1, 6*k+2,6*k+3,6*k+4 ou 6*k+5.
Comme le total de trois nombres de la famille doit être pair car multiple de 3, je peux éliminer les familles : 6*k+1, 6*k+3, et 6*k+5.

Les trois autres familles conviennent car leur somme de trois éléments est bien multiple de 6.
Toutefois entre 1 et 99, la famille 6*k+2 comportent 17 élément alors que les deux autres n'en comportent que 16.

Il doit y avoir 17 boules dont le numéro est de la forme 6*k+2, avec k variant de 0 à 16.

Posté par PMP1 (invité)

Sans en être vraiment certains je dirai 17.

2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98.

Posté par isisstruiss isisstruiss

Je choisis de prendre tous les nombres de la forme 6k+2 avec k naturel. Dans [1,99] il y a 17 tels numéros, qui sont
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98.

Je prétends que le maximum est 17 billes dans le récipient.

Isis

Posté par franz franz

L'une contient au maximum 17 billes (les nombres congrus à 2 modulo 6  càd 2,8,14,20....,98)

Posté par shintao (invité)

Il y a 17 billes au maximum dans la récipient.

Posté par borneo borneo

2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98

ce qui fait 17 billes.

Posté par Myka (invité)

Le maximum de billes est 16 et les billes consistent au numéro qui sont des multiples de 6.

Posté par bncjo (invité)

il faut que le récipient contiennent que des boules à numeros multiples de 6 soit 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96. Le récipient peut donc contenir 16 boules au maximum.

Posté par Severus (invité)

Hello,

Le recipient peut contenir au maximum 17 billes, les 6n+2:
2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98

Severus

Posté par manpower manpower

La somme des trois numéros tirés doit être divisible par 6, donc nécessairement paire est divisible par 3.
On peut ainsi d'emblée exclure les nombres impairs car la somme de trois nombres impairs ou de deux nombres pairs et d'un impair donne une somme impaire alors que la somme doit être paire pour tout tirage. Reste les nombres pairs.

Parmi les 49 nombres pairs on distingue déjà les multiples de 6.
Il y en a : 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90 et 96.
Si on prend les 16 multiples de 6, alors automatiquement on doit exclure tous les autres nombres pairs. En effet, si a et b sont divisibles par 6, alors (a+b)+c est divisible par 6 si et seulement si c est divisible par 6.

Par ailleurs, si on prend les 33 autres nombres pairs, il faudrait que toutes les sommes de 3 éléments soit divisible par 6 mais étant donné que la liste des 33 nombres contient (avec saut) toujours des nombres pairs consécutifs (2 et 4, puis 8 et 10...). Si une somme de trois de ces nombres est divisible par 6 ( par exemple 2+8+14=24 ) alors en remplaçant l'un des nombres pairs par un autre nombre pair suivant ou précédent la somme obtenue aura une différence de 2 avec la somme précédente divisible par 6 et par conséquent ne sera pas divisible par 6. Il faut donc également exclure ce choix donc restreindre encore la série de nombres pairs (sans avoir deux nombres paris consécutifs).
On a ainsi deux possibilités de série:
La série composée des multiples de 6 augmentés de 2:
2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98 comportant termes
ou la série composée des multiples de 6 augmentés de 4 comportant termes.
On vérifie aisément que les deux séries conviennent puisque si a,b et c sont des multiples de 6,
(a+2)+(b+2)+(c+2)=a+b+c+6 est multiple de 6 et (a+4)+(b+4)+(c+4)=a+b+c+12 est aussi multiple de 6.

Ainsi, le nombre maximum de billes dans le récipient est
La solution maximale est unique et les numéros des billes sont exactement les multiples de 6 augmentés de 2:
2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98.

Posté par pietro (invité)

Il y a 16 multiples de 6 dans l'ensemble {1, 2, 3,..., 99}.
Donc la réponse est au moins 16. J'exclus les nombres impairs, donc la réponse est au plus 49.
J'ai vu que 2, 2+6, 2+12,...,2+96
          càd 2, 8, 14,..., 98 est une possibilité pour les n° des boules, ce qui en fait 17.
J'ai cru en voir parfois 18, mais cela ne marchait pas.
Donc, je dis (sans certitude) ...

Posté par bonjour bonjour

Pour être certain de tomber sur un multiple de 6 il suffit de garder les nombres multiples de 6. Il y en a 16

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 17 boules

Méthode :
Ces nombres [1min,99max] sont de la forme N_k=a+6k avec k>=0 et 1<=a<=5 puisque N_k<>0.
Comme N_k+N_k'+N_k''=6K, on a : 3a+6(k+k'+k'')=6K d'où a=2 ou a=4.
Il faut trouver la valeur maximale de k, k_max, et le nombre de boules sera égal à k_max+1 (k=0 inclus)
Par ailleurs, N_k<=99 => k<=Ent((99-a)/6)
* pour a=2, k<=Ent((99-2)/6) => k_max=16 => 17 boules
* pour a=4, k<=Ent((99-4)/6) => k_max=15 => 16 boules

Les 17 boules sont : 2-8-14-20-26-32-38-44-50-56-62-68-74-80-86-92-98

Merci pour cette énigme très sympa, tout en raisonnement, difficilement programmable (je serai intéréssé par l'algo si d'aucuns l'ont programmée),

Philoux

Posté par paulo paulo

bonsoir,
le recipient peut contenir un maximum de 16 billes . ce sont les 16 multiples de 6 compris entre 1 et 99.
ou est le piege ?
merci et a la prochaine



Paulo

Posté par philoux (invité)

ReBonjour,

Pb de proxy à l'envoi, je réenvoie au cas où (même message)

-----------------------------------
Bonjour,

Réponse : 17 boules

Méthode :
Ces nombres [1min,99max] sont de la forme N_k=a+6k avec k>=0 et 1<=a<=5 puisque N_k<>0.
Comme N_k+N_k'+N_k''=6K, on a : 3a+6(k+k'+k'')=6K d'où a=2 ou a=4.
Il faut trouver la valeur maximale de k, k_max, et le nombre de boules sera égal à k_max+1 (k=0 inclus)
Par ailleurs, N_k<=99 => k<=Ent((99-a)/6)
* pour a=2, k<=Ent((99-2)/6) => k_max=16 => 17 boules
* pour a=4, k<=Ent((99-4)/6) => k_max=15 => 16 boules

Les 17 boules sont : 2-8-14-20-26-32-38-44-50-56-62-68-74-80-86-92-98

Merci pour cette énigme très sympa, tout en raisonnement, difficilement programmable (je serai intéréssé par l'algo si d'aucuns l'ont programmée),

Philoux

Posté par PaChaMath (invité)

Au maximum 16 boules, celles dont le numéro est multiple de 6 et inférieur à 99.

Posté par Razibuszouzou (invité)

Il faut que la somme de trois numéros a, b, c, tirés au hasard soit un multiple de 6. Il y a trois solutions :
•Tous les numéros sont multiples de 6 eux-mêmes. Dans ce cas, on ne peut mettre que 16 boules, de la numéro 6 à la numéro 96.

•Tous les numéros sont congrus à 4 modulo 6. En effet si
a congru à 4 modulo 6,
b congru à 4 modulo 6,
c congru à 4 modulo 6,
alors a + b + c congru à 12 modulo 6, c'est à dire divisible par 6
Dans ce cas on ne peut mettre que 16 boules, de 4 à 94.

•Tous les numéros dont congrus à 2 modulo 6. En effet si
a congru à 2 modulo 6,
b congru à 2 modulo 6,
c congru à 2 modulo 6,
alors a + b + c congru à 6 modulo 6, c'est à dire divisible par 6
Dans ce cas, il y aura 17 boules, de 2 à 98, dont voici le détail :
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98

C'est la meilleure solution

Et pour parodier Pietro, voici mon résultat sous forme d'hommage :

Posté par raulic (invité)

Le récipient ne peut pas contenir de boules impaires
S'il y a une boule impaire et qu'elle est choisie la somme ne sera pas un multiple de six.
S'il ya deux boules impaires il faut absolument qu'elles soient choisie à tous les coups, donc 3 billes au maximum dans le récipient.
S'il ya trois boules impaires ou plus on risque de tomber sur trois boules impaires et donc le résultat ne sera pas multiples de six.

On peut choisir l'ensemble des chiffres multiples de six :
6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96. mais on se limite à 16 billes

On peut remarquer que la somme de 3 chiffres multiples de 4 est multiples de 6 :
4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96.
Donc on a 24 billes

Si on prend l'ensemle des chiffres pairs on a des mauvais résultat
2+4+8=14 n'est pas multiple de 6

Donc le nombre maximum de billes dans le récipient est 24.

Matthieu

Posté par lyonnais lyonnais

bonjour à tous

Alors, voici ma réponse :

Le récipient peut contenir au maximum .

En effet, seules les billes n° 2 - 8 - 14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - 50 - 56 - 62 - 68 - 74 - 80 - 86 - 92 et 98 vérifient les hypothèses.
C'est à dire que la somme de trois de ces billes prisent au hazard est un multiple de 6.

Voila, en espérant ne pas en avoir oubliées ...

@+

Posté par bigufo bigufo

bonjour,
j'ai trouvé 2 ensembles A={2;14;26;38;50;62;74;86;98} et l'ensemble des multiples de 6 B={6;12;18;24;30;36;42;48;54;60;66;72;78;84;90;96}
donc je crois que le nombre maximum de billes que le récipient peut contenir est card(B) = 16

Posté par kioups (invité)

2-8-14-20-26-32-38-44-50-56-62-68-74-80-86-92-98

Pour que la somme soit divisible par 6, il faut que tous les nombres soient égaux modulo 6, a fortiori égaux à 2 modulo 6.

D'où les 17 nombres suscités...

Kioups

Posté par tony68 (invité)

le récipient peut contenir 16 billes au maximum

Posté par douaisien (invité)

il peut y avoir o maximun 95 billes

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

J'ai trouvé que seuls les ensembles du type :
{a,a+6,a+12,...} avec a pair pouvaient depasser les nombre de 3 boules.

Or le plus grand de ces ensembles est :
{2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98}
Or cet ensemble contient 17 elements

J'en conclue que le nombre maximal de boules est 17

Dites moi qu'il n'y en a pas de plus grand SVP

Posté par jayrhum (invité)

Suivant les règles établies, le récipient pourra contenir au maximum 17 billes.

{2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80,86,92,98}

Posté par G0000D (invité)

Salut encore..

Vous dites qu'il faut forcément avoir un multiple de 6 lorsqu'on prend trois billes au hasard .. Je trouve donc qu'on ne peut mettre dans le sac que les multiple de 6 pour bien garantir notre somme..
Entre 1 et 99 il y a comme multiple de 6 : 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90 et 96.
Et donc le récipient peut contenir au maximum 16 billes.
Logiquement on a : a+b+c=6x x= a/6 + b/6 +c/6
Pour que x soit entier et que 6x soit un multiple de 6 il faut que 6 soit un déviseur de a, b et c et donc il faut que a, b et c soient des mmultiples de 6.

Posté par kyrandia (invité)

Bon je dirais 17 billes au maximum

avec les numéros ---> 2, 8, 14, 20, ..., 98

Posté par Choun (invité)

Après de longues recherches infructueuses, je tente ma chance avec mon idée la plus simple : 16 billes maximum, tous les multiples de 6 de 1 à 99.
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96

560 combinaisons possibles.

Posté par MarioBoss (invité)

16

Posté par PolytechMars (invité)

Bon matin  a tous,
Ma reponse est 16 billes ( billes ayant pour numero un multiple de 6 compris entre 1 et 99 )Autrement dit les 16 billes ont pour numero : 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 et 96 .

Posté par lefuturgenie (invité)

le nombre maximum de billes que le sac peut contenir est:16
voila:
L'ensemble de chiffres on peut combiner avec 1 et 2 est tous les multiples de 3 situés a l'intervalle 1 a 99.Il y a 33 nombres multiples de 3 dans cet intervalle mais il y a des nombres qui sont a la fois multiple de 3 et 6 , ceux qui sont multiples de 3 quand on les combine a 1 et 2 on obtient un "multiple de 6" mais quand on 3 d'entre eux a eux meme on obtient pas un multiple de 6 donc ces nombres qui sont 17 a l'intervalle sont a rejeter.
Quand on combine 1 et 2 aux nombres etant multiples de 6 on obtient pas non plus un multiple de 6 mais quand on les combine a eux meme on obtient un multiple de 6 donc on rejette les nombres 1 et 2 , alors par un simple petit calcul on aboutit au resultat suivant:
N=33-17
N=16 billes
conclusion:le nombre maximum de billes reste 16

Posté par doc_78 doc_78

Je propose de limiter nos billes à tous les multiples de 6, ainsi toutes les combinaisons possibles seront des multiples de 6... Mais bon, ça me parait un peu trop simple. Tant pis, je me lance : 16 billes.

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation.

Posté par borneo borneo

Moi aussi, j'ai failli répondre 16, mais pour une **, c'était vraiment trop simple, non ?

Posté par EmGiPy (invité)

Donc voila je n'ai pas participé a cette énigme car je ne l'ai pas faite seul. Un ami m'a aidé et ma trouvé une résolution en php:

<?php

$nb=0;

for($i=1;$i<100;$i++)

if($i%6==0)

$nb++;



echo $nb.'\n';



$nb=0;

for($i=1;$i<100;$i++)

if($i%6==2)

$nb++;



echo $nb.'\n';



$nb=0;

for($i=1;$i<100;$i++)

if($i%6==4)

$nb++;



echo $nb.'\n';

?>

Donc voila je me suis dit que ca ne servai a rien que je poste si ce n'était pas moi qui l'a fait

PS: merci mathsman si tu passes par là...

++ EmGiPy ++