Un problème d'optimisation

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Un problème d'optimisation

Posté le 21-02-10 à 17:12

Posté par Euphoriz

Bonjour, j'ai un exercice à faire, et je n'arrive pas à trouver la rédaction, ou trouver des formules pour le résoudre. Voici l'exercice :

Pour la fabrication d'un livre, un éditeur souhaite que dans chaque page d'un livre, la surface occuppée par le texte soit un rectangle d'aire 198 cm².
Par ailleurs les marges du haut et du bas devront être de 3 cm et celles de gauche et de droite de 2 cm.

L'objet de l'exercice est de déterminer les dimensions x et y du livre qui rendent minimale l'aire totale de la page et donc aussi son coût.

Ensuite, on pourra étudier le pourcentage d'occupation de cette page.

1. a) x = 13 cm y= 28 cm > Vérifiez que les critères de l'éditeur peuvent etre respectées. (oui selon moi : (13-2-2) × (28-3-3) = 9 × 22 = 198 cm²

aire totale de la page dans ce cas ? 13 × 28 = 364 cm²

Quel est le pourcentage d'occupation de page (arrondi à 10^-2)?

b) si x= 14 cm, comment doit-on choisir y pour que les critères de l'éditeur soient vérifiées ?
aire totale ?
% d'occupation de page ?
(14-4) = 10 198/10 = 19.8
19.8+6 = 25.6
J'ai trouvé y = 25.6 cm, mais je ne sais pas comment le justifier

c) Mêmes question pour x=19 cm

y=19.2

2)a) A quel intervalle appartient x ?
b) Exprimer l'aire totale de la page A(x) en fonction de x
c) étudier les variations de cette aire
d) En déduire au mm près les dimensions de la page qui rendent minimales l'aire totale

3) Etudier les variations du pourcentage P(x) d'occupation de la page. Commenter le résultat obtenu.

Donc voilà je n'arrive pas à trouver une bonne rédaction pour la question 1; Je pensais exprimer y en fonction de x, mais je ne sais pas comment m'y prendre, puis pour les questions 2 et 3 je n'y arrive pas. (un rapport avec les dérivées ?)
Voilà, si vous pouviez m'aider.

re : Un problème d'optimisation

Posté le 22-02-10 à 16:47

Posté par cailloux

Bonjour,

Tes réponses sont justes à part un 25.6 qui est plutôt 25.8 cm

1)a) Le pourcentage: $P=\frac{198}{364}\approx 54.40$ %

1)b) On peut présenter les choses comme ceci:

$(14-4)(y-6)=198$

$y=6+\frac{198}{10}=25.8$ cm

Le pourcentage: $P=\frac{198}{14\times 25.8}=54.82$ %

1)c) Même chose.

2a) $x>4$ $x\in ]4,+\infty[$

2)b) $A(x)=xy$

or $(x-4)(y-6)=198$

donc $y=6+\frac{198}{x-4}$

et $A(x)=x\left(6+\frac{198}{x-4}\right)$

$A(x)=6x+\frac{198x}{x-4}$

2)c) $A'(x)=6-\frac{4\times 198}{(x-4)^2}=2\,\frac{3(x-4)^2-396}{(x-4)^2}$

$A'(x)=\frac{6[(x-4)^2-(2\sqrt{33})^2]}{(x-4)^2}$

$A'(x)=\frac{6(x-4-2\sqrt{33})(x-4+2\sqrt{33})}{(x-4)^2}$

Sur $]4,+\infty[$ , $A'(x)=0$ pour $x=4+2\sqrt{33}$

Sur $]4,4+2\sqrt{33}]$ , $A'(x)\leq 0$ et $A$ est décroissante.

Sur $[4+2\sqrt{33},+\infty[$ , $A'(x)\geq 0$ et $A$ est croissante.

d) $A$ présente donc un minimum en $4+2\sqrt{33}$ soit environ 15.5 cm.

3) $P(x)=\frac{198}{A(x)}$

et $P$ sera maximum quand $A$ sera minimum, c' est à dire pour $x=4+2\sqrt{33}$

re : Un problème d'optimisation

Posté le 02-03-10 à 10:30

Posté par Euphoriz

Merci beaucoup !
PS : c'est bien 4,4 là > Sur ]4,4+2\sqrt{33}], A'(x)\leq 0 et A est décroissante.

re : Un problème d'optimisation

Posté le 02-03-10 à 11:50

Posté par cailloux

Sur $]4,x_1]$ où $x_1=4+2\sqrt{33}$ oui.

re : Un problème d'optimisation

Posté le 05-03-10 à 17:12

Posté par Euphoriz

Une chose de plus ^^; comment trouver les dimensions avec le minimum de A(x) ?

Pourquoi -396, alors que -4*198 = -792 ?

(du coup Je trouve que x = 4 + √792)

je ne comprends pas le passage de A'(x) :

re : Un problème d'optimisation

Posté le 09-03-10 à 10:50

Posté par cailloux

Citation :
Pourquoi -396, alors que -4*198 = -792 ?

$A'(x)=6-\frac{4\times 198}{(x-4)^2}=2\,\frac{3(x-4)^2-396}{(x-4)^2}$

Il y a un 2 en facteur: et $2\times 396=792$

Citation :
je ne comprends pas le passage de A'(x) :

Réduction au même dénominateur et factorisation par 2.

Citation :
Une chose de plus ^^; comment trouver les dimensions avec le minimum de A(x) ?

$x=4+2\sqrt{33}$

$y=6+\frac{198}{x-4}$

$A(x)=6x+\frac{198x}{x-4}$

Suffit de remplacer $x$ par sa valeur.

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