homeomorphisme

Posté par xpert xpert

on a une application definie par
id: (IR,d1) vers (IR,d2) qui a x associe x.
Et on demande de montrer que cette application (identité) est continue ainsi que sa reciproque.
NB: on ne sait pas si les distance d1 et d2 sont equivalentes sur IR.
doit on prouver ci que ces distances sont equivalentes?.aider moi svp

Posté par kybjm kybjm

Il faudrait que tu nous dises ce que sont ces distances pour te donner des indications .
Si on ne t'avait pas parlé de distances équivalentes qu'aurais-tu fait ?  Revois la définition de la continuité sur un ensemble .

Posté par xpert xpert

d1 egal a I x-y I et d2 egal a I arctg(x) - arctg(y) I.

Posté par rhomari rhomari

arctan est continue donc 0 0 tq |x -y| < |arctan x-arctan y|<
de meme pour l autre tu peut utiliser la continuité de tan

Posté par xpert xpert

donc si je comprend bien on doit montrer que ces distance sont equivalentes pour pourvoir conclure que cette application est continue?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Quelle est ta définition de distances équivalentes?

Posté par xpert xpert

ma definition est la suivante:deux distance d1 et d2 son equivalence ssi il existe 2reel a,b strictemen positif telque ad1 inferieur ou egal a d2 inferieur ou egal a bd2. alors?

Posté par rhomari rhomari

suite :
arctan est continue donc

Posté par xpert xpert

je suis confus soyer plus clair svp.doit on conclure ici que id est continu parceque d1 et d2 sont equivalente??

Posté par rhomari rhomari

quelle est ta definition de continuité pour f  (IR,) (IR,)

Posté par kybjm kybjm

1. On a d₂ d₁ (utiliser le th des AF)
Id est donc  continue de (,d₁) dans (,d₂) (facile à voir avec les ou avec les suites ou avec les ouverts)

2.
  21. Il n'existe pas de réel c 0 tel que d₁ cd₂  (sinon d₁ serait bornée)  d₁ et d₂ ne sont donc pas équivalentes (au sens pris par beaucoup) qui est celui que tu prends .
On va voir qu'elles définissent la même topologie (on dit parfois qu'elles sont topologiquement équivalentes)
On va montrer que "localement" on peut faire comme en 1.
22. Soient s et t réels tels que s < t . Si x et y sont dans [s , t] on a |x - y| = |tan(arctan(x)) - tan(arctan(y))| = |arctan(x) - arctan(y)|.(tan) '() où ]arctan(x) , arctan(y)[ . Si on pose M(s,t) = Sup{ (tan) '() | [arctan(s) , arctan(t)] } (c'est un réel ) on a donc " (x,y) [s , t]² ,  d₁(x,y) M(s,t).d₂(x,y) ."

Cela entraine que Id est  continue de (,d₂) dans (,d₁)

Montrons le avec les suites :
Soit a .
  Soit u : telle que d₂(u(n),a) 0 càd telle que arctan(u_n) arctan(a) . Soient et vérifiant -/2 < < arctan(a) < <  /2 . Pour n assez grand(disons n > N ) on a arctan(u_n) [ , ]  donc si s = tan() et t = tan() on a , pour n > N , u_n [s , t] et comme a [s , t] on a d₁(u_n,a) = |u_n - a| M(s,t).d₂(u_n,a) donc  d₁(u_n,a) 0 .
Cela montrer que Id est d₂-d₁ continue au point a .
Comme on n'a fait aucune supposition sur a  , Id est d₂-d₁ continue .

Remarque : (,d₂) n'est pas complet .
La suite : n n est de Cauchy pour d₂ mais ne converge pas ( pour d₂ ).
  

Posté par xpert xpert

g comprend maintenant,donc une application f de (IR,d) vers (IR,d') est continue si les distances d et d' sont equivalente sur IR.g me trompe?

Posté par kybjm kybjm


Justement non puisque d₁ et d₂ ne sont pas équivalentes .

Posté par Camélia Camélia

Non, justement il y a plusieurs définitions pour des distances équivalentes. Avec ta définition, ici elles ne sont pas équivalentes mais l'identité est quand même un homéomorphisme.

Posté par xpert xpert

pouvez vous me donner d autre definition de distance equivalente svp car la mienne ne me siait pas(il a meme fallu passer par les acroisement fini pour prouver que d1 et d2 sont equivalente)

Posté par kybjm kybjm

On récapitule :
1. les distances  d₁ et d₂  sur un ensemble E sont dites equivalentes SSI il existe 2 reels a,b strictement positifs tels que  d₁ a.d₂ et  d₂   b.d₁.

2. Si  d₁ et d₂ sont des distances  sur un ensemble E les propriétés suivantes  sont équivalentes :
   P1 : Id : (E,d₁)   (E,d₂) est un homéomorphisme .
   P2 : Tout ouvert de E pour l'une l'est pour l'autre .
   P3 : Tout fermé de E pour l'une l'est pour l'autre .
   P3 : Toute suite u : E qui converge pour l'une converge pour l'autre et les limites sont les mêmes.
   P4 : pour tout point a de E , tout voisinage de a pour l'une est aussi un voisinage pour l'autre.

Lorsque l'une est satisfaite on dit que d₁ et d₂  sont  topologiquement equivalentes  .
Dans ton exercice d₁ et d₂  sont  topologiquement equivalentes ,  mais ne sont pas  equivalentes .

Posté par xpert xpert

je vous remercie infiniment,tout est claire dans mon esprit maintenant