espaces vectoriels normés

Posté par maru57 maru57

Bonjour j'ai une question de maths à rendre voici l'énoncé :

si f :A->F application avec a € A\ ( le slash est en fait une barre c'est l'adhérence de A) est telle que pour toute suite (an) d'éléments de A convergeant vers a, (f(an)) est convergente alors f admet une limite en a.

je dois vérifier que cette proposition est vrai ou fausse .

A mon sens cette proposition semble être vrai car cela semble logique mais l'expérience m'a montré que tout ce qui pouvait me sembler logique ne l'était pas forcément .

j'ai essayé de passer par les définition des limites d'une suite et de montrer que cela impliqué la limite au point a  mais je n'arrive à le montrer précisément sa tourne autour toujours du résultats sans avoir parfaitement ce qu'il faut .

Si vous pouviez m'aider merci d'avance

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

On sait que admet pour limite en si et seulement si pour toute suite qui converge vers , converge vers .

Le problème ici, c'est que l'on sait que toutes ces suites sont convergentes, mais on ne sait pas a priori si c'est vers la même limite.

Apparemment, c'est vrai, mais ma preuve ne me paraît pas élémentaire. (j'utilise la notion de filtre de Cauchy et le complété de )

Néanmoins, mon idée était de supposer par l'absurde que n'admet pas de limite en , et de construire une suite qui converge vers , tandis que n'est pas de Cauchy.

Ce que je suis arrivé à faire, mais péniblement ...

Posté par maru57 maru57

Je ne connais pas les notions de filtre de cauchy et le complété de F .

Je vais essayer de travailler à partir de votre idée ( c'est à dire par l'absurde ) je verrai bien si j'aboutis merci pour l'idée !

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Voilà une solution qui me parait assez simple. On prend deux suites et qui tendent vers a. Alors la suite converge vers l et converge vers l'. Soit la suite définie par et , comme converge, il est immédiat que l=l'. Donc la limite est la même pour toutes les suites...

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour Camélia.

La méthode de ma preuve était la même (alterner les termes de deux suites), mais je m'étais compliqué la vie pour rien ...

Posté par Camélia Camélia

Salut Arkhnor (c'est le filtre qui me fait peur... ailleurs que dans ma cafetière)

En fait j'espère qu'on est bien dans un espace normé, parce que dans un EVT...

Posté par Arkhnor Arkhnor

Depuis que j'ai découvert les filtres, je ne peux plus m'en passer.

Effectivement, dans un evt, ça se complique, à moins que E ne soit métrisable.
Il ne reste qu'à trouver un contre-exemple ou une preuve ...

Posté par Camélia Camélia

Je crois avoir un contrexemple, mais n'affolons pas les populations! Dans les fonctions de R dans R muni de la topologie de la convergence simple, le prototype de séparé non métrisable!

Posté par Arkhnor Arkhnor

En fait, le problème se ramène à trouver une application séquentiellement continue, mais non continue.

La topologie de la convergence simple permet de construire des espaces séquentiellement compacts non compacts, ça serait pas étonnant d'y trouver notre contre-exemple.