activité bissectrice

Posté par mouss33 mouss33

Bonjour à tous.

Je suis à la recherche d'un énoncé pour faire la démonstration de la propriété: Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle.
Au début, je commence par la conjecture avec ces questions :

1) Constuire un angle xOz (angle)
2) Contruire la bissectrice [Oz) de cet angle.
3) Placer un point M sur [Oz)
4) Soit MK et MJ les distances respectives du point M aux côtés [Ox) et [Oy). Placer K et J.
5) Quelle conjecture peut-on faire sur ces distances ?

Après, je bloque pour faire un énoncé sur la deuxième partie, le but étant de prouver que MK=MJ. Je vois comment faire (heuresement!) mais je n'arrive pas à le mettre en forme pour des 4ièmes!

Merci d'avance!

Posté par pgeod pgeod


Ils voient les triangles isométriques en 4° ?

...

Posté par mouss33 mouss33

non! Pas que je sache!

Mais moi je voyais plus faire la démonstration à coup de symétrie axiale!

Posté par kioups kioups

Moi aussi, je verrais bien la symétrie axiale.

Je n'ai pas de 4ème cette année et ça fait un petit moment que je n'en ai pas eu... Est-ce bien nécessaire de le prouver ? L'idée est excellente, hein, mais bon, ça doit rester très abordable...

La distance entre un point A et une droite d est la distance entre ce point et le projeté orthogonal de ce point sur la droite (donc le point B tel que (AB) perp. à d et B appartient à d). On voit toujours ça en 4ème ? Je ne sais pas si ça sert, mais ça peut servir...

Posté par mouss33 mouss33

J'ai oublié de préciser => il y aura quelqu'un d'autre dans la salle ce jour là

La distance d'un point à une droite est toujours vu! Mais on ne parle pas de projeté orthogonale!
On se sert de ce que tu as dit entre parenthèses!

Posté par pgeod pgeod


bonne idée la symètrie axiale en effet. Mais pas si simple
sans faire intervenir de relation dans un triangle.

sauf peut-être en prenant les choses dans cet ordre :

1) Constuire un angle xOz (angle)
2) Contruire la bissectrice [Oz) de cet angle.
2bis) faire remarquer que les 2 droites (Ox) et (Oy) sont symétriques
3) Placer un point M sur [Oz)
4) Construire le point K tel que (MK) perp. à (Ox) et K appartient à (Ox).
4 bis) faire remarquer que MK est la distance de M à la droite (Ox)
5) Construire J le symétrique de K par rapport à (Oz) --> appartient à (Oy)
6) faire remarquer que l'image de OMK est OMJ par la symétrie axiale
7) la symétrie conservant les formes les triangles OMK et OMJ sont de même forme
8) donc angle(OJM) = angle(OKM) = angle droit et MJ = MK

...

Posté par kioups kioups

Mouss : si tu te fais inspecter ce jour-là (inspection de validation, c'est ça ?) et que tu travailles sur une démonstration, pense bien que les élèves ne doivent pas faire une démonstration pour dire "on a fait une démonstration" mais faudrait qu'ils puissent réfléchir au sens de la démonstration. "Bon, ok, on a conjecturé ça. Maintenant, pour le prouver, qu'est-ce qu'on peut utiliser ?" Guide-les vers la symétrie axiale (si c'est finalement ce que tu retiens comme méthode) et ensuite, tu peux balancer sereinement l'activité !

Je te répète plus ou moins ce que m'a dit l'inspecteur en janvier !

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

J'apporte ma contribution. Il me semble qu'en 4e on étudie les relations (trigono)métriques dans le triangle rectangle (sohcahtoa !), je n'en suis pas sur ou bien tu ne l'a pas encore vu.

En tout cas :

Dans le triangle OAM rectangle en M on a :

sin() = AM / OA

De même dans le triangle OAN rectangle en N on a :

sin() = AN / OA

Donc :

AM = AN (= OA * sin())

Voilà !

Posté par carpediem carpediem

salut

modeste contribution:

le triangle OMN est isocèle en O donc OM=ON puis tu utilises le T de P pour prouver que AN=AM...
(on "fait" donc du triangle isométrique mais sans le dire....)

Posté par jonjon71 jonjon71

Certes, cela dit les triangles isométriques ne sont vus qu'en 2nde et on est sur une classe de 4e !

De plus, je ne vois pas comment démontrer que le triangle OMN est isocèle en O quelque chose m'échappe sans doute.

Posté par mouss33 mouss33

kioups: en fait c'est ma deuxième visite ! Merci pour le conseil!

jonjon71: Non je n'ai pas encore vu les relations trigo (et le sinus ne se fait qu'en 3ième!)

Carpediem: même question que jonjon!  Pourquoi le triangle OMN est isocèle?

pgeod: Je vois où tu veux en venir. Je vais regarder ça plus précisemment.

Sinon j'avais pensé à montrer (je me base sur le dessin de jonjon) que [AN] et l'image de [AM] par la symétrie d'axe (OA) en se servant du fait que la symétrie axiale conserve l'orthogonalité.

Posté par carpediem carpediem

si (OA) est axe de symétrie alors elle est médiatrice du segment [MN]

ou plus précisément  d'après 5) de pgeod : si J symétrique de K par rapport à la bissectrice (Oz) alors (Oz) est la médiatrice de [JK] et OJK est isocèle en O
et MJK isocèle en M

Posté par pgeod pgeod


Si on construit J comme projeté de M, on aura du mal à établir que OJ = OK, et donc que MJ = MK.
c'est pourquoi Il me semble qu'il faut monter J comme symétrique de K,
et ensuite on peut conclure en utilisant les notions de 4°.

...

Posté par mouss33 mouss33

D'accord merci à vous tous !