Equa diff' : Evolution popoulation

Posté par ptifilou ptifilou

Bonjour,
Un DM a faire et j'ai des questions ou je bloque. J'espere que vous pourrez m'aider:
Voici l'énoncé :
L'évolution d'une population des définie par une fonction P qui désigne la population a l'instant t exprimé en années. Cette fonction P est solution de l'équation :differentielle :
y'=y-(1/500)y²
Partie A
Pour résoudre cette équation differentielle, on suppose que pour tout réel t0, P(t)>0 et on pose f= 1/P

1. Montrer que f est solution de l'équation differentielle  (E) : y'= 1/500 - y
et résoudre (E)
Sur cette question je n'ai pas eu de problème
et je trouve comme solution de l'équation : f(t) = k*exp(-t) +1/500

2. On suppose que P(0)=100. Calculer f(0) Exprimer alors f, puis P en fonction de t
J'ai trouvé f(0) = 1/100
j'en ai déduit : f(t) = (4exp(-t)+1)/500
          d'ou   P(t) = 500/(4exp(-t)+1)

3.Determiner la limite de P en +
J'ai trouver lim P(t) = +


Partie B :
On désire comparer le modèle précedent a un modèle discret donné par :
p₀=100 et p_n+1 - p_n = p_n*(1-p_n/500) ou p_n désigne la population au bout de n année

1. Montrer que pour tout réel x , x(2-x/500) = 500-((500-x)²)/500
La pas de problème

2. En déduire que pour tout entier naturel n , 0<p_n<500 Etudier les variation de la suite P_n

C'est la que je bloque, je n'arrive pas a prouver ce qu'il demande.

3.Montrer que la suite p_n converge et que sa limite L vérifie L=l(2-L/500) Déterminer alors L
La aussi je bloque

4.Donner une valeur approchée de P(5)-p(5) a 10^-1 près



Voila j'espere que vous pourrez me trouver le chemin jusqu'a la résolution de cet exercice
Merci d'avance

Posté par Prof_maths31 Prof_maths31

raisonne par recurrence et remarque aussi que pn+1=g(pn)  ou g(x)=500-(500-x)^2/500

Posté par ptifilou ptifilou

Ah oui, c'est vrai que c'est facile a comprendre comme ca
Merci j'ai donc prouver 0<pn<500
J'ai fais les variations mais je ne suis vraiment pas sur de moi la j'ai trouvé :
La courbe représentative de p_n est croissante sur [0;500] et décroissante sur [500;+[ C'est bon ou pas ??

Pour la 3), j'ai réussi a prouver que L=L(2-L/500) Mais par contre c'est pour déterminer L que je bloque la, j'ai essayé de résoudre cette équation mais je trouve que L= 1500 environ
Ca me parait bizarre enfin je sais pas
J'ai fias une erreur ou pas ??

Posté par makeu59 makeu59

Bonjour,


         J'ai quelques difficultés avec les equations differentielles. pouvez vous me montrer comment vous prouvez que f est solution de l'equation differentielle E .
Pour la 2 du B, je ne m'en sors pas avec la reccurence, pour la suite cela devrait aller, le devoir est a rendre pour demain et je ne vois vraiment plus quoi faire.
Pouvez vous m'aider ?

             MERCI BEAUCOUP

Posté par makeu59 makeu59

HELP !!!