Calcul

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Hey you !

Encore besoin de votre aide ....

On désire fabriquer une boîte plate sans couvercle de hauteur h .
On note x la largeur et y la longueur en cm.
On souhaite avoir une aire maximale mais avec des dimensions respectant les contraintes :
x < 5  ,  y<10 et 2x + y < 16
On choisit une hauteur de 2 cm.

Déterminer l'aire de la boîte en fonction de x & y, oit z = A ( x ; y ) .

C'est là que j'ai besoin de vous ! J'sais que l'aire = L * l * h mais ça m'avance pas beaucoup ...

Merci !

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

Ta formule L*l*h ne donne pas l'aire, mais le volume...

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Ah ?!! L'aire c'est juste L * l alors ...
Mais bon, ça m'aide pas plus ^^

Posté par LeHibou LeHibou

L*l est l'aire de la base. Je ne vois pas très bien pourquoi on te donne la hauteur, à moins qu'elle n'intervienne dans les questions suivantes ?

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Oui, dernière question, faut calculer le volume

Posté par LeHibou LeHibou

Donc pour l'instant tu dois maximiser la surface de la base, ce qui revient à maximiser f(x,y) = xy sur le domaine limité par les 5 droites :
x = 0
x = 5
y = 0
y = 5
y = 16-2x

Je te conseille de faire un dessin de de tracer le domaine. Tu trouveras qu'il est limité par les points :
O = (0,0)
A = (5,0)
B = (5,6)
C = (3,10)
D = (0,10)

Il est évident que le point où xy sera maximal ne sera pas à l'intérieur de ce domaine. En effet, pour tout point intérieur(x0,y0), on peut trouver un point (x0+h,y0+k) qui améliore le produit xy.
La solution est donc sur la frontière. Certainement pas sur OA ni sur OB, car sur ces segments le produit xy est nul (une des composantes x ou y est nulle). La solution est donc sur 1 des 3 segments AB, BC, CD.
Je te laisse y réfléchir, commence par déterminer le maximum de xy sur chaque segment. Le seul un peu délicat est BC...

Posté par Paupau2292 Paupau2292

C'est pour calculer le volume qu'il faut faire ça ??

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Bonjour à tous !
J'crois qu'on vois ça en 4éme ou 3 éme mais j'm'en souviens plus alors ...

Si y <ou égal à 10  et y<ou égal à 16 - 2x on peut bien en faire quelque chose ??

Merci !

*** message déplacé ***

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Re !

On a z ( x;y ) = 4y +4x + 2xy
z = 70

On veut exprimer y en fonction de x en sachant que x [ 0 ; 5 ] et y ( 0 ; 10 ]

Comment j'peux faire ?

*** message déplacé ***

Posté par spmtb spmtb

bonjour
4x+4y +2xy = 70
2y(x+2) = 70-4x
y = (70-4x ) / [2(x+2)]
y = (35-2x) / (x+2)

*** message déplacé ***

Posté par Prof_maths31 Prof_maths31

salut!

comme z=70  alors z(x,y)=4y+4x+2xy=70

            donc l'equation finale est 4y+4x+2xy = 70
                                      
    et il faut factoriser par y a gauche

*** message déplacé ***

Posté par LeHibou LeHibou

C'est pour calculer la surface maximale de la base, c'est ce que l'on appelle un problème d'optimisace n'est pas un problème aussi simple que ça...

Quand tu auras la surface maximale de la base, le volume s'en déduira par une simple multiplication par la hauteur h.

Posté par LeHibou LeHibou

Pardon... c'est ce que l'on appelle un problème d'optimisation d'une fonction de plusieurs variables sous contraintes, ça n'est pas toujours très simple

Mais si tu trouves plus simple, tu peux me le dire, ça m'intéresse

Posté par Paupau2292 Paupau2292

Merci à Prof_maths31 & spmtb pour la résolution !

Et LeHibou si jamais j'y arrive j'te dis ;p Mais j'pense pas du tout xD

Posté par Paupau2292 Paupau2292

On suppose que l'o, sature la contrainte sur les dimensions :
2x + y = 16

Montrer que, en satisfaisant cette contrainte, l'aire de la boîte s'exprime sous la forme
g (x) = - 2 x² + 12 x + 64


Le problème c'est que j'trouve -4x² + 28x + 64 ... :/

Posté par LeHibou LeHibou

Je reprends la suite de mon post d'hier à 22h48 :

Le maximum de surface de la base est à rechercher sur les arêtes AB, BC, CD.
Sur AB, on a x = 5 constant, donc le maximum de xy est obtenu pour le maximum de y, soit en B, où xy = 5*6 = 30
Sur CD, on a y = 10 constant, donc le maximum de xy est obtenu pour le maximum de x, soit en C, où xy = 3*10 = 30
Sur BC, on est lié par la contrainte y = 16-2x, donc xy = x(16-2x) = -2x²+16x
On introduit alors la fonction auxiliaire :
f(x) = -2x²+ 16x   pour x compris entre l'abscisse de C, soit 3, et l'abscisse de B, soit 5
On vérifie que f(3) = f(5) = 30
Une rapide étude de fonction montre que f(x) passe par un maximum pour x = 4, donc y = 16-4*2 = 8, et xy = 32
Le maximum de surface de la base est donc obtenu pour L = 8, l = 4, et vaut 32 cm²
Le maximum de volume est donc 32*2 = 64 cm³