Défi : suites et permutations.

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u(f(n)) est monotone donc converge vers L.
Je traite seulement le cas L réel et u(f(n)) croissante (pour les autres cas, c'est pareil).
On va utiliser la définition pour montrer que U(n) converge vers L tout en restant inferieur à L.
Deja pour tout n, u(f(n))<=L donc pour tout n, u(n)<=L
Prenons epsilon >0.
Donc il existe M tel que pour tout n superieur a M,  u(f(n)) >= L - epsilon
On note N = sup (f-1(k)) pour k dans 1, M.
Si n >N, f-1(n)>M donc u(f(f-1(n)))>= L -epsilon.
Donc u(n) converge vers L tout en restant inferieur à L


La réciproque est assez simple : on prend f(0) tel que uf(0) soit le plus petit des un (qui existe car partie de bornée, puis uf(1), et récurrence.

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Je reprends le cas L réel et u(f(n)) croissante
1) U(f(n)) n'étant monotone qu'à partir d'un certain rang, on adapte la preuve facilement en disant que u(n) n'atteint des valeurs strictement superieures à L qu'un nombre fini de fois.
2)On prends N= sup(f(k)) pour k = 1 .. M et non sup(f-1(k)).
3) Pour la réciproque, ce que j'ai fait est faux :
Deja uf(0) ... u(f(K)) sont les valeurs >L.
Puis on prends les bornes infs qui existent car :
(un) union (L) est compacte donc atteint sa borne inferieure.

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il suffit que k; n tel que

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n supereieur à k j'oubliais