Ensembles (complémentaire, adhérence, boule, frontière).

Citation :
Dans tout le devoir (E,d) est un espace métrique.
A^c est le complémentaire de A dans E.
à est l'adhérence de A.

PARTIE 1.
Soit A une partie de E et x un élément de E.
On dit que x est un point intérieur à la partie A s'il existe une boule ouverte B_d(x,r_x) centrée en x, de rayon r_x>0, telle que B_d(x,r_x)A (ou B_d(x,r_x)=A).
On appelle "intérieur de la partie A" noté °A l'ensemble des points intérieurs à la partie A.
1) Montrez que °AA (ou °A=A) mais que l'inclusion réciproque n'est pas vraie en général.
En particulier, déterminez °A pour A=[a,b], A=[a,b[, A=]a,b[, A={(x,y,z)³: x²+y²+z²1}.
2) Montrez que A est ouvert si et seulement si °A=A.
3) Montrez que °A est le plus grand ouvert contenu dans A.
4) En déduire que °A=O (O ouvert; OA ou O=A), autrement dit que °A est la réunion de tous les ouverts contenus dans A.
5) Montrez que les propriétés suivantes sont vraies pour toutes parties A, B de E:
a) °°A=°A;
b) °Â^c(°A)^c (ou °Â^c=(°A)^c) [difficile de représenter le membre de gauche, en gros c'est un petit rond sur un chapeau qui est sur A^c; ce rond sur un chapeau signifie "prendre l'intérieur"...];
c) A°^B=°A°B [gauche: le rond est sur le chapeau qui est sur le symbole inter];
d) °A°BA°^B [droite: le rond est sur le chapeau qui est sur le symbole union].

PARTIE 2.
Soit A une partie de E.
On rappelle que la frontière de A est l'ensemble A défini par:
A={xE| >0, B_d(x,)A}{xE| >0, B_d(x,)A^c}
c'est-à-dire l'ensemble des points de E telle que toute boule centrée en ce point intersecte à la fois A et A^c.
Déterminez Ã, °A, Ã^c (adhérence de A^c), °^A^c (le rond est sur le chapeau qui est sur A^c), A, (A^c) pour les ensembles suivants:
1) A= dans ;
2) A={(x,y)²| x²+y²=1};
3) {(x,y,z)³| z<1 et x²+y²=z}.

PARTIE 3 (uniquement si on arrive à faire les parties 1 et 2).
Soit A une partie de E.
1) Montrez à l'aide de contre-exemples bien choisis qu'en général ~°A (adhérence de °A) n'est pas inclus ou égal à °Ã et à ~°A.
2) Montrez que A=ÃÃ^c (adhérence de A^c).
3) Montrez que (Ã)^c=°Â^c et que (°A)^c=Ã^c (adhérence de A^c).
4) En déduire que A=Ã(°A)^c=Ã\°A.
5) En déduire que pour toute partie A fermée de E on a les équivalences:
A=A°A=Ã^c=E.