Homotheties dans un cercle

Posté par Thomas76240 Thomas76240

Voici un probleme sur lequel je bloque depuis un certain temps:
les cercles Γ et Γ' de diametres [AB] et [AC] sont tangents en A et ont pour rayons R et r. A tout point M de Γ autre que A, on associe le point M' de Γ' tel que (AM) et (AM') sont perpendiculaires. On note M'' le point d'intersection de (AM) et Γ'.

1)Determiner le rapport de l'homothetie de centre A qui transforme Γ en Γ'. Notons h cette homothetie
faut-il utiliser les triangles rectangles?

2)Quelle est l'image de M par h ? Justifier.
je suppose que c'est M' mais je ne sais pas le justifier vu qu'il faut répondre a 1) pour avoir h

3)En etudiant la position de M' et M'' sur Γ', montrer que M' est l'image de M'' par une homothetie bien choisie dont on precisera le centre et le rapport
centre A ?

4)Considerons deux points quelconques M et N de Γ. Les points N' et N'' sont analogues aux points M' et M''.
Montrer que vecteur M'N'= -(r/R) x vecteur MN. En déduire la nature de la transformation qui a M associe M'

5)Determiner l'image de B par la transformation trouvée en 4). Montrer que les droites (MM') passent par un point fixe appartenant a la droite (AB)

Si quelqu'un avait l'amabilité de m'éclairer. Merci d'avance pour votre aide

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir.
1) AM''C et AMB sont droits et (M''C)et (MB) sont parallèles.
Théorème de Thalès -> le rapport d'homothétie entre les deux cercles est le rapport de leurs rayons.
2) L'image de M par h est M''.
3) [M'M''] est un diamètre du petit cercle. L'homothétie a pour centre le centre de ce cercle et pour rapport -1.
4) Soient O et O' les centres respectifs du grand cercle et du petit cercle. O' est l'image de O par h.
M'N' = M'O'+O'N' = -M''O'-O'N'' = O'M''+N''O' = h*OM +h*NO = h(NO+OM) = h(NM) = -h(MN)
M'N'/MN = -h = -R/r
M est transformé en M par une homothétie de centre A et de rapport R/r, suivie d'une homothétie de centre O' et de rapport -1.
5)L'image de B est A
Détermination du point fixe P dans [AB].
Cas où l'angle BAM = 45°
[AM') recoupe le grand cercle en M°
AM°BM est un carré.
Dans le repère orthonormé (A;AM; AM°) :
l'équation de (AB) est y = x
l'équation de M'M est h-hx
l'abscisse de P est la solution de x = h-hx, soit x = h/(h+1)
AP = AB*h/(h+1) = AC/(h+1)

Posté par Thomas76240 Thomas76240

bonsoir , merci pour votre reponse mais :
je ne comprends pas tres bien votre reponse a la question 5
Merci de pouvoir m'indiquer plus clairement

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Autre solution pour 5):

Soit la transformation qui à associe

On a et

Si , alors

ou encore

En appelant le point d' intersection de et

Les triangles et sont dans une configuration de Thalès:

et

ou bien

et est le barycentre de

Remarque: A partir de 4) où il était démontré que , on pouvait en déduire que la transformation était une homothétie.

Donc que son centre, intersection de et , puisque et , était un point fixe.

Posté par Thomas76240 Thomas76240

Merci beaucoup