Equivalence des normes usuelles

Posté par greasf greasf

Bonjour à tous,

je dois déduire d'un calcul que les trois normes usuelles (N1, N2 et N sont équivalentes.
Par définition, cela semble assez rapide à prouver. Le problème est que je dois le prouver par calculs d'inégalités dont voici :



A partir de cela, je dois donc en déduire que les trois normes sont équivalentes.

Pour le moment, j'ai réussi à prouver que |x_i| max|x_i| soit |x_i| nmax|x_i|

Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller à trouver les inégalités restantes?

Merci d'avance et bonne journée

Posté par Drysss Drysss

bon pour (somme(xi^2) )^(1/2) >= max |xi|, tu devrais y arriver seul.
Une autre, c'est Cauchy scwharz
La derniere, tu peux la montrer par récurrence en notant que
(|u|+|v|)^2 >= |u|^2 + |v|^2.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Posté par carpediem carpediem

salut

dans |x_i| tu as un indice k tel que |x_k|=max|x_i|

donc |x_k|<|x_i|

ensuite pour les autres inégalités élève au carré déja

pour la 2e inégalité puisque tu as des nombres positifs (car a²=|a|²) alors la somme des carrés < au carré de la somme (il te manque les doubles produits qui sont positifs)

pour la 1e  max|x_i|²<|x_i|²

pour la 4e c'est commme pour la 1e

pour la 3e c'est comme pour la 2e

Posté par greasf greasf

Bonjour,

Tout d'abord, merci à tous pour les réponses apportées qui m'ont permis de presque terminer le problème.
En effet, pour l'inégalité 3, je suis arrivé à :
(|x_i|)² = x_i² + 2|x_ix_j|

Or, d'après Cauchy-Schwartz, |x_ix_j| (x_i²)^1/2(x_j²)^1/2

On en déduit :
(|x_i|)²(x_i²)^1/2(x_j²)^1/2

Mais ici, je ne vois plus comment faire sortir le n

Quelqu'un a t-il une idée?

Merci beaucoup

Posté par Drysss Drysss

somme des (xi) = somme des ( 1. xi).

astuce classique à retenir

Posté par greasf greasf

somme des (xi) = somme des (1.xi) = 1.somme des (xi), je ne peux pas en sortir une constante n ici?

Il faudrait avoir somme des (n.xi) pour pouvoir avoir n.somme de (xi), je ne comprends pas l'astuce.
Pourriez-vous détailler un tout petit peu s'il vous plait?

Merci d'avance et bonne soirée

Posté par carpediem carpediem

applique l'inégalité de Cauchy-schwartz à 1.|x_i| et tu verras ton n apparaïtre...

Posté par greasf greasf

Ah! Effectivement, et maintenant, je vais retenir cette astuce !

Merci à tous pour vos réponses.