Triplet pythagoriciens

Posté par nxdcc nxdcc

Bonjour
je bloque a une question d'un exercice
disont que je n'arrive pas à démarrer :

Montrer que si le produit de deux nombres entiers premiers entre eux est un carré, alors ces deux nombres sont tous deux des carrés.

Pourriez-vous m'aiguiller sur la réponse parce que je ne vois pas du tout comment faire
d'avance merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Si p est un nombre premier qui divise l'un des nombres regarde quelle puissance de p divise ce nombre.

Posté par nxdcc nxdcc


euh c'est à dire??

Posté par Camélia Camélia

Je note a et b les deux nombres. Soit p un diviseur premier de a. Alors p divise ab qui est un carré. Dans la décomposition de ab, p figure nécessairement avec un exposant pair, soit 2k. Alors divise ab, mais on sait que p ne divise pas b (puisqu'ils sont premiers entre sux), donc divise a.

Posté par nxdcc nxdcc

oui jusque là je suis d'accord mais sa va me servir à quoi?

Posté par Camélia Camélia

Ca montre que la décomposition en facteurs premiers de a est de la forme

Posté par nxdcc nxdcc

et après je fais la même chose pour b !?

Posté par Camélia Camélia

Si tu veux... mais tu peux dire que le même raisonnement s'applique.

Posté par nxdcc nxdcc

ok merci beaucoup!

Posté par nxdcc nxdcc

bonjour
je suis toujours sur ce même exercice
et quelques questions après on me demande de :
Montrer que si (a,b,c) est un triplet pythagoricien alors :
pgcd(a,b)=pgcd(b,c)=pgcd(a,c)

je ne sais pas trop comment faire
j'ai commencé par distinguer deux cas :
le cas ou a,b et c sont premiers entre eux et donc la pas de soucis
et le cas où ils ne sont pas premier entre eux et là je ne sais pas comment le démontrer

Merci d'avance!!

Posté par rhomari rhomari

il suffit d ecrrire la relation que verifie le triplet et d en tirer que tou divseur dedeux et automatique ment diviseur de l'autre ...

Posté par Camélia Camélia

Donc . Soit d le pgcd de a et b. Alors a=dm, b=dn avec m et n premiers entre eux. De plus, . Alors divise donc (le quotient de deux carrés est un carré). Mais alors avec m,n premiers entre eux, donc tu as déjà vu que m,n,p sont premiers entre eux. Il vient a=dm et c=dp, donc d est le pgcd de a et c.

Posté par nxdcc nxdcc

ok merci
c'était simple en fait
bon après-midi