démonstration d'Al-Kashi

Posté par saphire20 saphire20

Bonsoir
Je suis actuellement en Terminale S, et dans mon lycée on doit réaliser une sorte de TPE qui rentre dans la moyenne de maths! Le sujet étant esthétique et mathématiques, nous avons décidé de prendre la beauté dans les démonstrations mathémtiques!
L'une des démo choisis est celle du théorème d'Al-kashi par un découpage d'aires. J'ai trouvé la démonstration sur internet:

Un certain nombre des démonstrations du théorème font intervenir un calcul d'aires. Il convient en effet de remarquer que

a2, b2 et c2 sont les aires de carrés de côtés respectifs a, b et c ;
ab | cosγ | est celle d'un parallélogramme de côtés a et b formant un angle π / 2 − γ, le changement de signe de cosγ lorsque l'angle γ devient obtus rendant une étude par cas obligatoire.
La figure 6a (ci-contre) découpe un heptagone de deux manières différentes de sorte à démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle aigu. Interviennent :

en rose, les aires a2, b2 à gauche, et les aires 2abcosγ et c2 à droite ;
en bleu, le triangle ABC, à droite comme à gauche ;
en gris, quelques triangles supplémentaires, identiques au triangle ABC et en même nombre dans les deux découpages.
L'égalité des aires de droite et de gauche donne

.
La figure 6b (ci-contre) découpe un hexagone de deux manières différentes de sorte à faire démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle obtus. La figure montre

en rose, les aires a2, b2 et − 2abcosγ à gauche, et l'aire c2 à droite ;
en bleu, deux fois le triangle ABC, à droite comme à gauche.
L'égalité des aires à droite et à gauche donne

Une démonstration rigoureuse nécessiterait de prouver que les deux découpages sont effectivement identiques, ce qui utilise principalement les cas d'égalité des triangles.
  Maintenant je bloque sur cette dernière phrase, je ne sais pas comment prouver que ces deux découpages sont identiques! Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît?

Merci d'avance,
Saphire20

Posté par saphire20 saphire20

PS: je n'arrive pas à joindre les figures mais elles sont à cette adresse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d'Al-Kashi#Par_le_th.C3.A9or.C3.A8me_de_Pythagore

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonjour .  Je me demande si tu as vraiment besoin de démonstration .
Prends le 1er dessin, représentant le premier cas ( angle gamma aigu), je pense qu'il suffit que tu représentes la figure .  Tu marques tous les côtés de chaque "pièce" avec leur longueur : a, b, ou c.
    Et tu constates que toutes les pièces se joignent bien...

Maintenant, tu prends le 2ème dessin (du 1er cas). Après avoir vérifié que les trapèzes ont bien  a*b*cos(gamma) comme aire, tu notes encore la longueurs de tous les côtés, et tu constates que les 2 figures sont faites avec les mêmes aires...