DM de spé sur les similitudes directes

Posté par llolo06 llolo06

Bonsoir à tous ! J'ai un DM de spé à rendre pour mardi prochain et je n'arrive pas à avancer sur ma dernière question, un petit coup de pouce serait le bienvenue ... Merci d'avance !

Enoncé:

est un réel. Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : za=-1+2i; zb=3-i et zc=7+i.

1. Justifiez que pour tout réel , il existe une unique similitude directe s telle que s(A)=B et s(B)=C.

2. On suppose que l'écriture complexe de s est de la forme z'=az+b, a complexe non nul.
a. Calculer a en fonction de .
b. On suppose que a=(13-3+4i(4+))/25. Existe-t-il un réel pour lequel s est :
- une translation
- une rotation
- une similitude directe d'angle /2 ?

Réponses:

1. Comme AB et BC alors il existe une unique similitude directe transformant A en B et B en C.

2. a. Avec la résolution d'un système zb=aza+b et zc=azb+b je trouve le même a qu'à la question suivante.

b. Pour la translation, j'ai dit qu'on devait avoir a=1 pour avoir z'=z+b et avoir une translation et j'ai résolu a=1, j'ai trouvé que =-4.
Pour la rotation, je connais l'écriture comple z'-=e^(i)(z-) mais je ne vois pas comment faire ici, j'ai pensé à me servir de deux points mais je ne suis pas sûre que ça marche ...
Pour la similitude directe d'angle /2, je sais que l'écriture complexe est z'-=ke^(i)(z-) mais là aussi, je ne sais pas quoi faire ...

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par raymond raymond

Bonsoir.

¤ Translation

Tu dois avoir a = 1, ce qui donne : (13-3)/25 = 1 et 4(4+)/25 = 0

C'est impossible

¤ Rotation

Tu dois avoir |a| = 1. Résous l'équation |a|² = 1

Posté par llolo06 llolo06

Mais pour la translation, si on prend =-4, on a bien les deux équations bérifiées non ?

Et pour la rotation, si on résoud |a|²=1, cela revient à résoudre a=1 non ? et dans ce cas là, on a aussi =-4 non ?

Posté par raymond raymond

Tu as raison, j'avais mal calculé.

Je t'ai conseillé de prendre |a|² = 1 pour éviter la racine.

Posté par llolo06 llolo06

Oui je m'en suis doutée
Je dois obtenir deux , c'est ça ? =(-11-481)/10 et =(-11+481)/10

Posté par raymond raymond

Je trouve :

² + 2 - 8 = 0 (après simplification par 25)

= -4 ou = 2

Posté par llolo06 llolo06

Oui j'ai trouvé ça en reprenant mes calculs ! Par contre je ne vois pas comment faire pour voir si une similitude directe d'angle /2 est possible ...

Posté par Iris19 Iris19

Bonsoir,

Quelqu'un aurait-il une piste pour la dernière question ? Je ne vois vraiment pas comment procéder...

On ne peut même pas tenter de résoudre a = i puisque pour avoir un angle de /2 il est tout à fait possible que a soit égal à 2i, 3i, etc.

Merci d'avance !

Posté par llolo06 llolo06

En fait, j'ai réussi ! Tu sais que l'angle de ta similitude est /2 et tu as du voir dans ton cours que l'angle d'une similitude directe d'écriture z'=az+b est l'argument de a ... Il te suffit alors de résoudre arg(a)=/2 !

Posté par Iris19 Iris19

Oui, mais je ne sais pas comment procéder justement.
On a : arg a = /2 arg[(-4 - i( + 1))/(-4 + 3i)] = /2
Mon a n'est pas le même que le tien, mais c'est la même chose.

Comment as-tu fait pour effectuer le calcul ? Je ne vois pas comment continuer...

Posté par llolo06 llolo06

J'ai dit que /2 était l'argument d'un imaginaire pur positif. De là, j'ai dit que a devait être un imaginaire pur positif. J'ai alors résolu 13-3=0 et j'ai vérifié que 4(4+)>0 avec le que j'avais obtenu.

Posté par Iris19 Iris19

Ok, ça marche chez moi aussi. Merci beaucoup de ton aide !

Posté par llolo06 llolo06

De rien