Boule et application linéaire

Posté par maru57 maru57

Bonsoir,

je dois montrer que cette proposition est vraie ou fausse j'ai pas de point de départ je voulais utilisé la norme subordonné mais on ne sais pas si cette aplication est continue donc si vous pouviez m'aidé merci d'avance !

Si une application linéaire de E dans F est bornées sur Bf (0E,1) alors elle est continue

Posté par carpediem carpediem

salut

su u est bornée sur B(0,1) considère M=sup ||u(x)||/||x|| avec xB(0,1)

petite remarque : on devrait distnguer les 2 normes qui ne sont pas prises sur le même espace

soit alors xE fixé et soit yE telle que y tende vers x
et montre que u est continue en x...

Posté par maru57 maru57

je comprend pas l'histoire du y qui tend vers x et à quoi ça me sert de poser M?

Posté par maru57 maru57

je crois que j'ai réussi voila mon raisonnement :

la proposition est vraie car
iL existe M tq
V x  € Bf(0,1) ||u(x)||<M
or,


V y €E

y/||y|| a pour norme 1 sur E donc sont image par u est inférieur ou égal à M

donc V y € E   ||u(y)||<M||y||

ce qui est une caractérisation d'une application linéaire continue .

qu'en pense tu carpediem?

Posté par carpediem carpediem

il me semble que ceci ne te prouve la continuité qu'en 0
il faut prouver la continuité en un vecteur quelconque x

avec à peu près le même raisonnement montre que ||u(x)-u(y)||<M||x-y|| et là tu auras la continuité en x....

Posté par maru57 maru57

non mais j'ai démontré un théorème pour les application linéaires dans mon cours

u continue <=>u continue en 0<=>u k lipsch<=> V y € E   ||u(y)||<M||y||

Posté par carpediem carpediem

dans ce cas je suis d'accord....