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#msg2915852 Posté le 04-03-10 à 19:15
Posté par Profilsaturday saturday

Bonsoir je me permets de demande un peu d'explications. Je sais que cet exercice à déjà été posté sur le site mais je ne trouve pas de réponses bien expliquées & que j'arrive à comprendre. Merci d'avance pour le coup de main. Bonne soirée.

On considère la suite d'intégrales :
I0=0 à 1 dx/(1+e^x) dx  ;  I1=0 à 1 (e^x)dx/(1+e^x) .... In=0 à 1 (e^nx)/(1+e^x) dx

1) Calculer I1 et Io + I1. En déduire la valeur de Io.
Pour I1, je trouve 1 mais je ne suis pas très sure
2) Pour tout entier naturel, caluler In + In+1. Là je m'emmèle les pinceaux.
b) Montrer, sans calcul que la suite (In) est croissante. Celle là j'ai réussi.
3) Prouver que pour tout élément x de x [0;1] :
enx / e + 1 enx / ex + 1 1/2 enx. En déduire un encadrement de In
4)A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de In/en
re : Integrales#msg2915910 Posté le 04-03-10 à 19:31
Posté par Profilsaturday saturday

Mince dans I0 le deuxième dx est en trop ..
re : Integrales#msg2915964 Posté le 04-03-10 à 19:44
Posté par Profilolive_68 olive_68

Salut

Je trouve que 3$I_1=\ell n\(\fr{1+e}{2}\). Quel est ton calcul ?
re : Integrales#msg2915967 Posté le 04-03-10 à 19:46
Posté par Profilsaturday saturday

Ah justement après l'avoir refait je trouve ça également. Par contre pour I0, je n'arrive pas à reconnaitre la forme, du coup je n'arrive pas à trouver la primitive
re : Integrales#msg2915984 Posté le 04-03-10 à 19:50
Posté par Profilolive_68 olive_68

C'est pour ça qu'on te de calculer 3$I_0+I_1 , si tu connais 3$I_1 et 3$I_0+I_1 alors tu connais 3$I_0 non

Enfait on peut très bien le calculer directement alors que l'énoncé suggère que non.

3$\fr{1}{1+e^x}=\fr{e^{-x}}{1+e^{-x}} si on multiplie par 3$e^{-x} et la c'est déjà plus simple
re : Integrales#msg2916005 Posté le 04-03-10 à 19:57
Posté par Profilsaturday saturday

Oui je ne faisais plus attention  la suite de la question ...
J'ai remplacé I0 et I1 par les termes mais ensuite je ne vois pas quoi faire
re : Integrales#msg2916014 Posté le 04-03-10 à 20:02
Posté par Profilolive_68 olive_68

La somme des deux c'est tout Tu trouves quoi pour la somme ?
re : Integrales#msg2916019 Posté le 04-03-10 à 20:04
Posté par Profilsaturday saturday

JE vois pas comment ajouter une intégrale & ma réponse ...

Je trouve :
I0 + I1 = de 0 à 1 dx / ex + 1  + ln ( e+1/2)

Je ne vois pas quoi faire ensuite
re : Integrales#msg2916036 Posté le 04-03-10 à 20:09
Posté par Profilolive_68 olive_68

Nan nan ^^ laisse I(1) sous la forme qu'il est dans l'énoncé
re : Integrales#msg2916068 Posté le 04-03-10 à 20:25
Posté par Profilsaturday saturday

Ah oui d'accord ! Je trouve I0 + I1 = de 0 à 1 ex/ex + 1 dx

?????
re : Integrales#msg2916081 Posté le 04-03-10 à 20:28
Posté par Profilolive_68 olive_68

Presque,

I_0+I_1 \ = \ \Bigint_0^1 \ \fr{e^x+1}{e^x+1} \ \text{d}x, à toi de continuer
re : Integrales#msg2916096 Posté le 04-03-10 à 20:35
Posté par Profilsaturday saturday

en effet j'avais oublié le 1 . par contre pour finir le calcul j'ai du mal parce que c'est la même expression en haut et en bas
re : Integrales#msg2916104 Posté le 04-03-10 à 20:37
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ca devrait t'aider justement ^^ si tu as la même expression en haut et en bas alors tu peux simplifier non ?
re : Integrales#msg2916106 Posté le 04-03-10 à 20:38
Posté par Profilsaturday saturday

Ah oui, ce qui me donnerait I0+ I1  1 ??
re : Integrales#msg2916108 Posté le 04-03-10 à 20:38
Posté par Profilsaturday saturday

= *
re : Integrales#msg2916116 Posté le 04-03-10 à 20:41
Posté par Profilolive_68 olive_68

Oui
re : Integrales#msg2916118 Posté le 04-03-10 à 20:42
Posté par Profilsaturday saturday

Ah bonne nouvelle ! J'en déduis que I0 = 1 - ln ( e+1/2) ...
re : Integrales#msg2916131 Posté le 04-03-10 à 20:45
Posté par Profilolive_68 olive_68

Eh oui ! C'est bien ça

Allez c'est parti pour le 2.a), Ca ressemble un peu à ce qu'on a du faire avant
re : Integrales#msg2916145 Posté le 04-03-10 à 20:52
Posté par Profilsaturday saturday

J'ai trouvé quelque chose mais je bloque à un moment ..

J'ai : In+1 = 10 e(n+1)x / ex+1 dx

Donc In+ In+1 = de 0 à 1 enx/ ex+1 dx + de 0 à 1 e(n+1)x / ex+1 dx
D'où : = de 0 à 1 ( enx/ex+1 + e(n+1)x/ ex+1 + 1 ) dx

Pour continuer j'ai du mal
re : Integrales#msg2916153 Posté le 04-03-10 à 20:55
Posté par Profilolive_68 olive_68

Nan nan ^^ Il faut faire attention à la manière dont on définie les termes ^^

3$I_n=\Bigint_0^1 \ \fr{e^{nx}}{e^x+1} \ \text{d}x et 3$I_{n+1}=\Bigint_0^1 \ \fr{e^{(n+1)x}}{e^x+1} \ \text{d}x=\Bigint_0^1 \ \fr{e^x\times e^{nx}}{e^x+1} \ \text{d}x

A toi de finir
re : Integrales#msg2916167 Posté le 04-03-10 à 20:59
Posté par Profilsaturday saturday

J'obtiens : de 0 à 1 ex(enx)² / ex+1 dx
Je croise les doigts ..
re : Integrales#msg2916190 Posté le 04-03-10 à 21:08
Posté par Profilolive_68 olive_68

tu fais quoi avec ce carré ? Franchement la c'est vraiment pas compliqué ( j'espère que cette phrase ne te découragera pas ) c'est 100% du calcul

4$I_n+I_{n+1}=\Bigint_0^1 \ \fr{e^{nx}(e^x+1)}{e^x+1} \ \text{d}x à toi de continuer
re : Integrales#msg2916217 Posté le 04-03-10 à 21:16
Posté par Profilsaturday saturday

Sincèrement je suis sur cet exercice depuis beaucoup d'heures je commence à m'y perdre.

On peut simplifier les ex+1 & donc In + In+1 = de 0 à 1 enx ????
re : Integrales#msg2916231 Posté le 04-03-10 à 21:21
Posté par Profilolive_68 olive_68

Ah c'est peut-être une erreur de frappe que j'ai lu dans ton poste précédent, Désolé si tu as écris ex+1 et que ça désignait 3$e^x+1

Mais sinon c'est bien ça
re : Integrales#msg2916243 Posté le 04-03-10 à 21:26
Posté par Profilsaturday saturday

Fiouuuu
Malheureusement je viens de me rendre compte que j'ai démontré que la suite In était croissante mais avec des calculs, savez-vous comment faire sans calculs ?
re : Integrales#msg2916276 Posté le 04-03-10 à 21:33
Posté par Profilolive_68 olive_68

Tutoies moi si tu veux

3$\fr{e^{(n+1)x}}{e^x+1}=\fr{e^{x}e^{nx}}{e^x+1} or si 3$x\in [0,1] alors 3$1\le e^x\le e.

Donc 3$\fr{e^{(n+1)x}}{e^x+1}\ge \fr{e^{nx}}{e^x+1} donc par considération d'aire (puisque c'est toujours positif ce truc) on a 3$\Bigint_0^1 \ \fr{e^{(n+1)x}}{e^x+1} \ \text{d}x \ge \Bigint_0^1 \fr{e^{nx}}{e^x+1} \ \text{d}x c'est à dire 3$I_{n+1}\ge I_n..
re : Integrales#msg2916359 Posté le 04-03-10 à 21:53
Posté par Profilsaturday saturday

ça parait tout de suite plus simple quand c'est expliqué ! Bon j'abandonne pour la dernière question mais merci beaucoup !! Bonne soirée.
re : Integrales#msg2916389 Posté le 04-03-10 à 22:03
Posté par Profilolive_68 olive_68

Tu abandonnes pourquoi ? "Trop dur" ou tu as pas le temps ? sinon c'est pas un problème je peux essayer de t'expliquer si tu penses que ça peut t'aider
re : Integrales#msg2916394 Posté le 04-03-10 à 22:05
Posté par Profilsaturday saturday

Plus la force de comprendre on va dire
re : Integrales#msg2916425 Posté le 04-03-10 à 22:13
Posté par Profilolive_68 olive_68

Comme tu veux, si tu as envie de poursuivre je suis là

Alors, bonne soirée sinon

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