Le plus grand possible

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 Le plus grand possible Posté le 04-03-10 à 21:43
Posté par frenicle frenicle

Bonjour à tous 

Je vous propose un petit jeu mathématique.

Sur un tableau noir sont écrits les nombres entiers de 1 à 50.

A chaque étape du jeu, vous choisissez deux nombres a et b parmi ceux qui sont écrits au tableau, vous les effacez et vous les remplacez par le nombre a.b + a + b. 

Il y a donc un nombre de moins sur le tableau après chaque étape.

Au bout de 49 étapes, il ne reste plus qu'un seul nombre écrit au tableau.

Votre mission, si vous l'acceptez, est de faire en sorte que ce dernier nombre soit le plus grand possible.

Quel nombre maximum pouvez-vous atteindre, et comment ?

Bonne recherche !

Merci de masquer vos réponses.

Cordialement

Frenicle 
 re : Le plus grand possible Posté le 04-03-10 à 22:49
Posté par veleda veleda

bonsoir,
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peut être en formant à chaque fois un nombre supérieur au plus grand des nombres écrits au tableau

première étape: on remplace 49 et 50 par x1=50+49+50*49

deuxième étape: on remplace x1et 48 par x2= x1+48+48x1....

on arrivera à un grand nombre x49..que je n'ai pas le courage de calculer et qui n'est peut être pas le plus grand possible

 merci  
 re : Le plus grand possible Posté le 04-03-10 à 23:50
Posté par cailloux cailloux 

Bonsoir,

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Comment ? N' importe comment.

 On doit aboutir au terme  de la suite définie par:

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 00:05
Posté par cailloux cailloux 

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Bon plutôt 

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 07:53
Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir Frenicle.
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A chaque étape, on prend les deux plus grands nombres.

Le résultat est astronomique.

En se limitant à un tableau de 1 à 10.

Les deux plus grands nombres sont successivement :

10 et 9

109 et 8

989 et 7

9919 et 6

69439 et 5

416639 et 4

2083199 et 3

8332799 et 2

24998399 et 1

Le résultat est 49996799.

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 09:51
Posté par frenicle frenicle

> veleda

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Hum, pas très convaincant 

> cailloux
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Jolie formule 

Pourquoi serait-ce optimal ?

> plumemeteore

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Une petite erreur :

A la quatrième étape : 7919 et pas 9919.

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 16:02
Posté par veleda veleda

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j'ai fait un effort  je trouve 

c'est peut être tout à fait fantaisiste
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 16:13
Posté par frenicle frenicle

> veleda

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Ce n'est pas du tout fantaisiste.

Mais pourquoi serait-ce optimal ?

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 17:41
Posté par dpi dpi

Bonjour frenicle

Encore un truc passionnant
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Dès le début on voit qu'il faut commencer par la fin c'est à dire par 50 et 49 qui laisseront le fameux 2549 à marier avec 48 etc

Sans m'encombrer de formules je pense que le plus grand nombre au bout de 49 opérations similaires sera 1.55112 x10
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 18:03
Posté par jandri jandri 

Bonjour à tous,

C'est très simple mais il y a une astuce!

On peut la trouver en examinant attentivement la quantité  a*b+a+b
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 18:20
Posté par veleda veleda

rebonjour
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cet après midi en bêchant mon potager je me demandais pourquoi justement la somme et le produit?il y a un truc qui m'échappe
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 18:47
Posté par Camélia Camélia 

Bonjour à tous!

Génial!

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La loi de composition a * b=a+b+ab est associative et commutative... donc peu importe, on trouve toujours la même chose!
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 21:32
Posté par pallpall pallpall

Bonsoir frenicle, bonsoir à toutes et tous,

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je vous propose une idée (même si je sais que vous avez déjà trouvé):

On fait une récurrence sur le nombre de "nombres" impliqués dans le calcul :

- n=2 : (1;2) => 5

- n=3 : (1;2;3) => 23 (en utilisant n=2)

- n=4 : (1;2;3;4) => 119 (en utilisant n=3)

.

.

Si c'est correct, la récurrence donne

50! - 1

Sinon, j'ai encore faux.

Nota : une mention spéciale à Camélia qui est sur tous les coups, bravo 

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 21:42
Posté par veleda veleda

bonsoir camélia
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 bravo,comme j'avais rendu ma copie j'ai lu ton blanké,je venais juste de constater que (48*49)*50=48*(49*50) c'est pourtant une loi de composition que je donnais régulièrement en exercice
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 21:45
Posté par pallpall pallpall

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Euh , je voulais écrire (n+1)! -1

 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 22:01
Posté par pallpall pallpall

Camelia : 

tu enseignais à quel niveau, et où ? 

(je te trouve super forte, et je fais des maths pour mon plaisir, ma math spé est loin).
 re : Le plus grand possible Posté le 05-03-10 à 22:13
Posté par pallpall pallpall

re-bonsoir Camelia et Veleda,

ma question était aussi pour Veleda 
 re : Le plus grand possible Posté le 06-03-10 à 00:40
Posté par frenicle frenicle

Bonsoir 

Merci de votre participation, et bravo à toutes et à tous, et spécialement à Camélia.

Je donne ci-dessous la solution que j'avais en tête, qui apporte un point de vue un peu différent.

 Cliquez pour afficher
Soit Q la quantité obtenue en ajoutant 1 à chaque nombre écrit au tableau et en multipliant les résultats entre eux.

Au début, Q = 51!

Comme (a + 1)(b + 1) = a.b + a + b + 1, la quantité Q reste inchangée à chaque étape, quels que soient les nombres a et b choisis.

Le dernier nombre écrit sur le tableau est donc égal à 51! - 1, quel que soit l'ordre adopté.

Remarque pour Veleda et Cailloux : 

Joli thème pour un exercice de calcul 

 re : Le plus grand possible Posté le 06-03-10 à 08:45
Posté par dpi dpi

Merci,

Ma valeur de 1.55112 *10 doit correspondre en principe et donc donner

une idée de grandeur!
 re : Le plus grand possible Posté le 06-03-10 à 10:19
Posté par veleda veleda

frenicle

merci pour le corrigé

avec la remarque de caméliaon peut utiliser la récurrence proposée parpailpailpour trouver 51!-1

il est très bien cet exercice
  re : Le plus grand possible Posté le 06-03-10 à 14:03
Posté par pallpall pallpall

re-bonjour tout le monde,

je suis content d'avoir trouvé la solution, en donnant la formule la plus simple.

Je ne parle pas beaucoup sur le net, mais il m'a fallu plusieurs pages sur mon cahier, et plusieurs heures de réflexion.

Cet exercice est intéressant, merci frenicle.

A bientôt tout le monde.

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