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cercles concourants
Posté le 04-03-10 à 21:48
Posté par 
Hyung Hyung
Bonjour,
On construit extérieurement à un triangle ABC quelconque trois triangles BPC, CQA et ARB ainsi que leurs cercles circonscrits de centres respectifs O1, O2 et O3. La somme des angles (PC;PB), (QA;QC) et (RB;RA) compris dans ]0:
[ est de . Il s'agit de montrer que les trois cercles ont un point commun.
Je considère I le symétrique de A par rapport à (O2O3). I appartient aux cercles circonscrits à ARB et CQA car O3A=O3I et O2A=O2I mais je n'arrive pas à prouver que I appartient au troisième cercle...
Pourriez-vous m'aider?
Merci.
Hyung HyungBonjour,
On construit extérieurement à un triangle ABC quelconque trois triangles BPC, CQA et ARB ainsi que leurs cercles circonscrits de centres respectifs O1, O2 et O3. La somme des angles (PC;PB), (QA;QC) et (RB;RA) compris dans ]0:
[ est de . Il s'agit de montrer que les trois cercles ont un point commun.Je considère I le symétrique de A par rapport à (O2O3). I appartient aux cercles circonscrits à ARB et CQA car O3A=O3I et O2A=O2I mais je n'arrive pas à prouver que I appartient au troisième cercle...
Pourriez-vous m'aider?
Merci.
re : cercles concourants Posté le 04-03-10 à 22:24
Posté le 04-03-10 à 22:24Posté par pgeod pgeod
La somme des angles (PC;PB), (QA;QC) et (RB;RA) est de pi.
c'est juste. Mais comment a été établie cette relation ?
...
pgeod pgeodLa somme des angles (PC;PB), (QA;QC) et (RB;RA) est de pi.
c'est juste. Mais comment a été établie cette relation ?
...
re : cercles concourants Posté le 04-03-10 à 22:28
Posté le 04-03-10 à 22:28Posté par Priam Priam
En considérant les angles IAB, IAC et IBC ainsi que leurs relations avec les angles de l'énoncé dont la somme vaut pi, on peut démontrer que le point I doit aussi être sur le cercle de centre O1.
Priam PriamEn considérant les angles IAB, IAC et IBC ainsi que leurs relations avec les angles de l'énoncé dont la somme vaut pi, on peut démontrer que le point I doit aussi être sur le cercle de centre O1.
re : cercles concourants Posté le 05-03-10 à 12:49
Posté le 05-03-10 à 12:49Posté par pgeod pgeod
ok. Dans ce cas, suis les indications de Priam.
On passe bien par les relations d'angles entre arcs supplémentaires .
...
pgeod pgeodok. Dans ce cas, suis les indications de Priam.
On passe bien par les relations d'angles entre arcs supplémentaires .
...
re : cercles concourants Posté le 05-03-10 à 16:14
Posté le 05-03-10 à 16:14Posté par Hyung Hyung
Avec les propriétés des angles inscrits on a:
(AC;AI)=(RC;RA)-(RI;RA)
(AI;AC)=(QA;QC)-(QA;QI)
Mais je ne vois pas trop comment faire...
Hyung HyungAvec les propriétés des angles inscrits on a:
(AC;AI)=(RC;RA)-(RI;RA)
(AI;AC)=(QA;QC)-(QA;QI)
Mais je ne vois pas trop comment faire...
re : cercles concourants Posté le 05-03-10 à 18:11
Posté le 05-03-10 à 18:11Posté par Priam Priam
J'ai fait erreur dans mon message : en réalité, les trois angles en cause sont AIB, AIC et BIC (tous ayant donc leur sommet en I).
Priam PriamJ'ai fait erreur dans mon message : en réalité, les trois angles en cause sont AIB, AIC et BIC (tous ayant donc leur sommet en I).
re : cercles concourants Posté le 05-03-10 à 21:54
Posté le 05-03-10 à 21:54Posté par Hyung Hyung
Pour avoir l'égalité (AIC)=-(AQC), est-ce qu'on procède ainsi:
ACI+IAC=AQC (car le même arc de cercle est intercepté)
et ACI+IAC+AIC=
ACI+IAC=-AIC=AQC-AQC=AIC.
Et puis d'après:
AIC =-AQC
AIB = pi -ARB
on a AIB+AIC+BIC=2=2-(AQC+ARB-BIC)
BIC-AQC-ARB=0BIC=AQC+ARB=-BPCBPC=-BIC=IBC+ICB
ce qui implique que I appartient au cercle de centre O1.
Hyung HyungPour avoir l'égalité (AIC)=
-(AQC), est-ce qu'on procède ainsi:ACI+IAC=AQC (car le même arc de cercle est intercepté)
et ACI+IAC+AIC=
ACI+IAC=-AIC=AQC-AQC=AIC.Et puis d'après:
AIC =
-AQCAIB =
pi -ARB on a AIB+AIC+BIC=2
=2-(AQC+ARB-BIC)BIC-AQC-ARB=0BIC=AQC+ARB=-BPCBPC=-BIC=IBC+ICBce qui implique que I appartient au cercle de centre O1.
re : cercles concourants Posté le 06-03-10 à 12:08
Posté le 06-03-10 à 12:08Posté par pgeod pgeod
c'est tout à fait ça.
la justification de ACI+IAC=AQC (car le même arc de cercle est intercepté)
est tout de même à préciser :
ACI = AQI comme intersectant le même arc
IAC = IQC comme intersectant le même arc
d'où : AQC = AQI + IQC = ACI + IAC
...
pgeod pgeodc'est tout à fait ça.
la justification de ACI+IAC=AQC (car le même arc de cercle est intercepté)
est tout de même à préciser :
ACI = AQI comme intersectant le même arc
IAC = IQC comme intersectant le même arc
d'où : AQC = AQI + IQC = ACI + IAC
...
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