Optimisation

Posté par celimene celimene

Nous avons un exercice à faire que je n'arrive pas à faire et comprendre. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Un cône de révolution est inscrit dans une sphère de centre O et de rayon fixe R. sa hauteur h et le rayon r de son cercle de base sont variables.

1.a. Calculer r en fonction de h et de R.
b. Quel est l'ensemble l des valeurs que peut prendre h ?
c. Démontrer que le volume V(h) du cône est donné en fonction de la variable h par V(h)=pi/3 (-h^3+2Rh²).

2.a. Étudier les variations de la fonction V sur I.
b. En déduire qu'il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximal.
c. Calculer alors le rayon r et le volume du cône. Calculer la mesure à 1° près le l'angle ASH.
3. On pose R=4.
a.Exprimer le volume du cône en fonction de h.
b. Tracer la courbe représentant la fonction V dans un plan muni d'un repère orthogonal; on choisit de représenter sur l'axe des abscisses 1 unité de longueur par 1 cm et sur  l'axe des ordonnées 10 unités de volumes par 1 cm.


Merci d'avance

Posté par sarriette sarriette

bonjour,

Un dessin pour démarrer:



1a- Pythagore dans le petit triangle du bas te donne:
r²+(h-R)²=R²
de cette relation tu tires r

1b-le cone ne peut pas sortir de la boule donc h va de 0 à 2R

1c-volume cone= base×hauteur/3
quelle est l'aire de la base du cone?
quelle est sa hauteur?
puis dans ta formule tu remplaces r par ce que tu as trouvé à la question a

2-a tu derives, tu etudies le signe de la dérivée.

2-b- dans ton tableau de variation tu vas trouver un max.
tu vois pour quelle valeur de h.

2c- tu remplaces h par sa valeur dans la formule du 1-a et du volume.
Par contre je ne sais pas qui sont A , S et H

à toi!

Posté par celimene celimene

bonjour, tout d'abord merci d'avoir pris le temps de m'aider.
Je suis parvenu aux résultats suivants :

1) a. r=2R-h

b. h [0;2R]

c. aire de base : A= ((2R-h)²h)/3
   hauteur : h=(2R-r)
   je ne suis pas parvenue à trouver l'expression de ce volume. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

2) j'ai un petit soucis pour dériver cette fonction, j'ai tout d'abord reconnue deux fonctions de référence,la fonction cube et la fonction carrée.
  par la forme somme je suis arrivée à f'(h)= -U'+2RV', ce qui me donne -3h²+4Rh. IL me reste /3, je pensais utiliser la forme produit du nombre dériver, mais je ne parviens pas à avoir une réponse satisfaisante.

Merci d'avance

Posté par sarriette sarriette

tu t'es trompée dans la formule de r ce qui fausse la suite:

1)

a. r² = R²-(h-R)² d'où r =

b. ok

c. aire =
développe, simplifie et tu retrouves la formule

2) V(h)=pi/3 (-h³+2Rh²)

V'(h) = pi/3 (-3h²+4Rh)
le coefficient pi/3 reste devant sans rien changer puisque pour tout réel k : (kf)'= k.f'

je te laisse continuer

Posté par celimene celimene

je ne sais pas comment étudier les variation de la dérivé, j'ai essayer de construire un tableau de signe, mais je ne trouve pas quoi mettre dedans. J'ai mis les bornes 0 et 2R, mais je ne sais pas trouver le changement de variation.*
je suis désolée de vous embêter, j'ai quelques lacunes en maths.
sinon le point S est le sommet du cône, le point H  corespond à SH=h, et le point A appartient à la boule, AH= r.
Merci d'avance!

Posté par sarriette sarriette

bon alors allons y!

V'(h) = pi/3 (-3h³+4Rh)
= pi/3 * h ( -3h+4R)

c'est un produit de trois termes:
pi/3 est positif
h est toujours positif car c'est une longueur.
-3h+4R > 0 pour h < 4R/3

ce qui va donner le tableau suivant:



je te laisse calculer les valeurs qui manquent.

Tu vois que le volume du cône est max quand h vaut 4R/3
pour le calcul de l'angle tu te places dans le triangle rectangle ASH et tu utilises par exemple tan(ASH) = r / h

Posté par celimene celimene

Merci beaucoup !
je vais essayer de m'en sortir

Posté par Cocotte Cocotte

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide s'il vous plaît pour démontrer que le volume V(h) du cône est donné en fonction de la variable h par V(h)=pi/3 (-h^3+2Rh²).


Merci d'avance

Posté par sarriette sarriette

bonjour,


en relisant mon post précédent je vois des erreurs de frappe et donc ce n'est pas tres compréhensible...

Tu as:

volume du cone = aire de la base × hauteur / 3

aire de la base=

hauteur=h

donc volume =

quand tu developpes (R²-(h-R)²) tu trouves R²-h²-R²+2hR ce qui donne -h²+2hR

en remplaçant dans la formule du volume tu as:

volume =

Posté par c-18 c-18

comment on fait pour exprimer volume du cône en fonction de h en sachant que la formule du volume du cone est : aire de la base × hauteur / 3

Posté par sarriette sarriette

bonjour,

En lisant le post juste au dessus du tien ...

Posté par c-18 c-18

excuse moi de te dérangé je voudrais savoir si ce que tu as mis dans ton post est pour la question 3
3. On pose R=4.
a.Exprimer le volume du cône en fonction de h.