Interprétation d'équations différentielles

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Interprétation d'équations différentielles

Posté le 05-03-10 à 21:31

Posté par uterpendragon

Bonjour à tous,

j'ai une petite question sur des équations différentielles. Je n'ai pas de problèmes pour les résoudre mais dans la question que j'ai, on me demande des les interpréter. (expliquer chaque terme)

En fait x représente la fraction de la population saine et y la fraction de la population infectée.

$\frac{dx}{dt} = \alpha x + (1-\beta)y-\gamma xy$
$\frac{dy}{dt} = -y+\gamma xy$

(Et $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ sont des constantes positives réelles.)

Merci beaucoup pour les renseignements que vous pourrez m'apporter !

re : Interprétation d'équations différentielles

Posté le 05-03-10 à 23:33

Posté par PIL

Bonsoir,

La première équation :  dx/dt = ax + (1-b)y - cxy.

Tu remarques que s'il n'y a pas de malades, y = 0, alors x croît de façon exponentielle : dx/dt = ax.
Si 0<b<1, le terme (1-b)y est positif, donc augmente le taux de variation de x; il doit correspondre aux malades qui guérissent et repassent de ce fait dans la catégorie des personnes saines.  As-tu l'hypothèse que b<1 ?
Le produit  xy est une mesure du nombre de rencontres possibles entre un malade et une personne saine; le terme cxy correspond aux nombres de personnes infectées au temps t ( entre t et t+dt ): il diminue le taux de variation de x et augmente celui de y.
Le coefficient b ne devrait-il pas figurer dans la deuxième équation ?

re : Interprétation d'équations différentielles

Posté le 07-03-10 à 23:18

Posté par uterpendragon

désolé de ne pas avoir répondu plus vite...

Mais déjà un grand merci pour ton explication à propos du terme en xy !!, je n'avais pas cela vu de cette façon...

En fait c'est tout à fait possible que le terme b apparaisse dans la deuxième équation et qu'il soit compris entre 0 et 1 car la deuxième petite sous question (avant la résolution proprement dite) consiste à critiquer le modèle et de dire ce qu'on pourrait y ajouter !
Ça me parait donc déjà un peu plus clair

re : Interprétation d'équations différentielles

Posté le 08-03-10 à 09:40

Posté par PIL

Bonjour,

J'aimerais bien connaître le fin mot de cette histoire. Pense à moi quand tu auras discuté de la solution !
Merci !

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