Compacité de N

Posté par pablitom94 pablitom94

Bonjour, je dois montrer que l'ensemble N des entiers naturels n'est pas compact en tant que partie de R.
Pour cela je dois utiliser la définition de la compacité avec les recouvrements:
"Une partie E de R est dite compacte si de toute famille d'ouverts recouvrant E il existe une sous-famille finie qui recouvre E."
J'ai essayé de montrer que toute famille d'ouverts recouvrant N est infinie mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Quelqu'un peut m'aider?
Et plus généralement comment montre-t-on, avec la définition des recouvrements, qu'une partie E de R n'est pas compact?

Posté par Foxdevil Foxdevil

Bonsoir,

Il suffit de trouver un recouvrement avec certains ouverts tel que ton ensemble ne puisse jamais être recouvert avec un nombre fini d'entre eux (c'est précisément ce qu'autorise toujours Borel-Lebesgue) et non pas comme tu sembles le penser que toutes familles d'ouverts est infinie, ce qui est beaucoup beaucoup plus fort que la simple négation de B-L.

Preuve que ce n'est pas vrai: Si tu prends la famille d'ouverts: pleins d'ouverts quelconques (une infinité) et R. Bah tu peux bien extraire une sous famille, {R}, dont la réunion (donc lui même) recouvre ton ensemble N....

Pour N, tu prend les intervalles ouverts de centre chaque entier et de rayon 1/2. Donc on recouvre N par la famille ]n-1/2;n+1/2[ (n dans N). Si un nombre fini d'entre eux recouvre N, cela implique que N est fini, ce qui est absurde....

Posté par kybjm kybjm

Pour voir ce qu'il y a à faire je te conseille de quantifier les propositions
On te demande de montrer :

non " la famille F d'ouverts recouvrant , une sous-famille finie G de F qui recouvre "  càd

"une famille F d'ouverts recouvrant tq la sous-famille finie G de F,  G ne recouvre pas "

Foxdevil te prouve que cette dernière proposition est vraie.