construction à partir des longueurs des hauteurs

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Soient h1, h2 et h3 les hauteurs
Soit a une longueur arbitraire.
Il s'agit de construire un triangle A'BC' semblable à la solution, dont BC' = a, A'C' = b (à trouver), A'B = c (à trouver) et dont les hauteurs à [BC'], à [A'C'] et à [A'B] sont proportionnelles à h1, à h2 et à h3.
a * h1 * rapport de proportion = b * h2 * rapport de proportion
a/b = h2/h1
On trace un angle quelconque de sommet I.
Sur un des côtés on pose J tel que IJ = a.
Sur l'autre côté on pose K et L tel que IK = h2 et IL = h1.
La parallèle menée de L à (KJ) coupe l'autre côté de l'angle en M.
IM = b.
On construit la longueur c de la même manière.
On peut maintenant construire le triangle A'BC'
On trace un segment [BE] perpendiculaire BC', du même côté que A et de longueur h1.
On trace la droite perpendiculaire en E à [BE). Elle rencontre [BA') en A.
De A on trace la parallèle à [A'C'). Elle rencontre BC' en C.
Le triangle ABC est la solution.