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Posté le 06-03-10 à 19:00

Posté par sarah91

Bonjour
est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait , je coince une peu

:
voila l'enonce
monter que 3 puissance 2 puissance (n-2)= 1 ( modulo 2 puissance n )
merci d'avance

j'ai essaye le binome de newton , (1+2) puissance (n-2) , mais ca n'a pas l'air de marcher !! , je sais pas

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:13

Posté par raymond

Bonsoir.

La récurrence fonctionne avec pour point de départ n = 3

On suppose que :

$4$\textrm 2^{2^{n-2}} \bar{=} 1 mod(2^n)$

Cela signifie que :

$4$\textrm 2^{2^{n-2}} = 2^n\times a + 1$

Passons au rang suivant :

$4$\textrm 2^{2^{n-1}} = 2^{2^{n-2}\times 2} = (2^{2^{n-2}})^2 = (2^n\times a + 1)^2$

Développe ce dernier terme, tu verras l'hypothèse de récurrence se confirmer.

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:19

Posté par sarah91

merci pour ton aide

, meme si c'est 3 puissance 2 puissance (n-2) , mais bon , je vais essayer de refaire encore une fois la recurence

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:21

Posté par sarah91

ça maaaarche , merciii

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:22

Posté par raymond

C'est une erreur de frappe en LaTeX, désolé, il faut remplacer par 3, mais la preuve est bonne.

Boon week end.

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:24

Posté par rhomari

$3^{2^{n-1}}= 3^{2^{n-2}\times 2}-1=0 \\ $3^{2^{n-2}}$^2=(3^{2^{n-1}}-1)(3^{2^{n-1}})=$

re : :s

Posté le 06-03-10 à 19:37

Posté par rhomari

tout est parti en l air ..!
$3^{2{n-1}}-1= $3^{2{n-2}}$^2-1=(3^{2{n-2}}-1)(3^{2{n-2}}+1)$
le premier membre est multiple de $2^n$ (hyp de rec )le 2eme est multiple de 2donc le produit est bien multiple de $2^{n+1}$

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