Trouver une fonction avec ses limites

Posté par Masteralex Masteralex

Bonjour,

Pour un DM de math, j'ai du résoudre un exercice qui me donnait quelques informations comme les limites de la fonction recherchée.

Or, j'ai trouvé la réponse sans l'aide d'un point de l'énoncé, et ça me taraude.

En effet, il est écrit :



Cela veut-il dire que f'(0)=0 ?

Car vu que je pars de ax²+bx+c, je peux trouver sa dérivée et ainsi résoudre ce problème. Néanmoins, à la fin je tombe sur 2b-c=0, ce qui ne rentre pas dans mes deux autres équations qui sont a+b+c=0 et 9a-3b+c=0. Avec ces deux dernières équations, je trouve que a=1 b=2 et c=-3, et la suite de l'exercice correspond à ma réponse.

Alors pourquoi ce point de l'énoncé qui me dit que j'ai faux ?

Merci d'avance !

Posté par critou critou

Bonjour,

Si tu mettais l'énoncé complet ... ?

Posté par Masteralex Masteralex

J'voulais éviter ça mais ça doit être inévitable ^^

Alors, le voici :



En partant du fait qu'en 1 et -3 la limite est -, j'en déduit qu'à cet endroit là, le dénominateur de la fonction doit tendre vers 0. Donc je pose ax²+bx+c=0. Ainsi, comme je l'ai précédemment dit, je trouve 9a-3b+c=0 et a+b+c=0, et j'en déduis que a=1 b=2 et c=-3. Ensuite, je les place dans la fonction, donc mon dénominateur est "x²+2x-3". Pour trouver le numérateur, j'utilise le fait que la limite en + vaut -2 : en effet, si c'est un quotient de second degré, on va utiliser la règle du plus grand monôme. Ainsi, je trouve que le dénominateur est "-2x²".

Donc la fonction est : -2x²/(x²+2x-3).

D'après lecture graphique, cela correspond à l'exercice.

Mais il y a ce point de l'énoncé que j'ai expliqué plus haut qui ne marche pas : avec 2b-c=0, b ne peut pas être 2 et c -3.

Bref, au secours !

Posté par critou critou


Comment ? pour trouver trois inconnues, il faut a priori trois équations... (détaille ce que tu as fait ?)


Non, tu trouves que le plus grand monôme du numérateur est -2x². (Pour l'instant)

---
Bon, ta solution est bonne au final mais ça a l'air de tenir du coup de chance

Posté par Masteralex Masteralex

Et bien ce point est en effet un peu hasardeux, car tout simplement j'ai fait :
=> c=-a-b
=> 9a-3b-a-b = 8a-4b et ainsi 2a-b

Après ce n'est que de la logique :/ Mais je n'ai pas "prouvé", en effet.

Pour ensuite, je vois pas comment trouver autre chose que -2x² comme numérateur.

Posté par critou critou

Bon, donc dans ton raisonnement tu avais :
a+b+c=0
9a-3b+c=0

c=-a-b
9a-3b-a-b=0

c=-a-b
2a-b=0

b=2a
c=-3a

Et ensuite, tu as pris a=1 - pas très honnête mathématiquement ça - ; ce qui donne du coup a=1, b=2, c=-3.

Au départ on cherche une écriture de f(x) comme quotient de deux trinômes, donc sous la forme : . Mais, tu es d'accord, la fraction , par exemple, est égale à en divisant numérateur et dénominateur par 3.
Donc en fait, on peut chercher f(x) sous la forme .
Du coup, on n'a plus que deux inconnues en bas ; et deux équations, toujours les mêmes sauf que maintenant "a" n'est plus une inconnue :
1+b+c=0
9-3b+c=0
... qui donne b=2 et c=-3. Dénominateur : x²+2x-3

-------------
PS : ça aurait été plus vite de dire :
On peut chercher f(x) sous la forme
Le dénominateur doit s'annuler en x=-3 et x=1, il est donc forcément égal à (x-1)(x+3). (les racines du trinômes sont 1 et -3)

Posté par Masteralex Masteralex

Ouaou merci beaucoup pour l'aide, il faut tout simplement poser seulement 2 inconnues au dénominateur, au lieu de 3

Néanmoins, ma toute première question n'est pas totalement répondue : celle qui parle du point de l'énoncé que je n'ai pas utilisé.

Serait-ce normal ?

Deuxième point, l'exercice précise que c'est un quotient de 2 polynômes, peut-on considérer -2x² comme un polynôme, avec b et c qui valent 0 ?

Merci encore !

Posté par critou critou

Oui, -2x² est bien un polynôme.

Mais on n'a pas fini (t'inquiète on va l'utiliser cette fichue hypothèse !)

Jusqu'à présent, notre numérateur est de la forme (et on n'a aucune raison de supposer que e=f=0 ! c'est un polynôme du second degré, point.)

Puisque la limite en +infini est -2, le quotient des termes de plus haut degré tend vers -2 : tend vers -2 ie d=-2.

Ce qui nous ramène à un numérateur de la forme  . Il nous reste deux inconnues, on doit normalement trouver deux informations.
Et là, faut utiliser la dernière hypothèse. Je la trouve mal formulée (je sais pas pour toi... ?), je dirais plutôt :

Quelles sont les deux informations cachées là-dedans ?

Posté par Masteralex Masteralex

Tout simplement f'(0)=0 ?

Car sinon je vois rien d'autre :/

Mais même avec ça je vois pas tellement où aller. Je sais juste que dans ce cas, le numérateur doit être négatif en 1 et -3 pour correspondre aux limites.

Posté par critou critou

Si l'axe des abscisses est tangente à Cf en l'origine, c'est que forcément Cf passe par l'origine du repère... --> la voilà, la deuxième info.

Posté par Masteralex Masteralex

Ah je vois !

Donc f(0)=0, donc dx²+ex+f=0

Or, on connait déjà d (=-2).

Ensuite je calcule les racines ?

Posté par critou critou

Hum tu fatigues (normal à cette heure)
f(0)=0
d*0²+e*0+f=0
f=0

Il nous reste f'(0)=0 à utiliser, pas le choix faut dériver. On en est à f(x)=(-2x²+ex)/(x²+2x-3)
f'(x)=... (t'amuse pas à tout simplifier au max, y'a que f'(0) qui nous intéresse après tout - après tu remplaces x par 0, et normalement tu trouves e=0)

Posté par Masteralex Masteralex

Mon dieu suis-je bête... j'arrive pas à croire que j'ai sortie cette bêtise >_<

Je n'ai plus le temps pour ce soir mais je vous tiens au courant demain soir, merci encore pour votre aide !

Posté par Masteralex Masteralex

Me revoilà !

Désolé d'avoir pas répondu hier soir, j'étais très occupé, j'ai pas pu continuer.

Donc après réflexion, j'en tire conclusion que je dois dériver sous la forme u/v

Soit u=-2x²+ex et v=x²+2x-3
Alors u'=-4x+e et v'=2x+2

J'applique la formule :

(u/v)'= (uv'-u'v)/v²

Je sors avec :

([(-2x²+ex)(2x+2)]-[(-4x+e)(x²+2x-3)])/[(x²+2x-3)²]

Au final, je trouve : (4x²-12x+ex²-3e)/[(x²+2x-3)²]

Fraction est nul si son numérateur est nul.

Donc 4x²-12x+ex²-3e=0 si e=0 (je développerais sur ma copie).

Donc au final j'ai bien ce que je trouve.

J'oublierais pas de faire f(2) comme demandé dans l'énoncé

Dites moi si je me suis trompé quelque part, merci encore de votre aide !

Posté par critou critou

Attention sur la dérivée d'un quotient, c'est :

(u/v)'= (u'v-uv')/v² (l'opposé de ce que tu as mis, évidemment ça donne toujours e=0).

f'(x)=[(-4x+e)(x²+2x-3)-(-2x²+ex)(2x+2)]/[(x²+2x-3)²]
Ensuite, on sait que f'(0)=0, d'où en remplaçant x par 0 : -3e/9 = 0, d'où e=0. Je ne comprends pas très bien ce que tu as fait ?

Bonne nuit !

Posté par Masteralex Masteralex

Ca y est, j'ai terminé et rendu.

Merci encore pour votre aide

Bonne continuation !

Posté par critou critou

De rien !

Bonne soirée