Un exercice sur les complexes

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Un exercice sur les complexes

Posté le 06-03-10 à 22:01

Posté par Humoussama

Bonjour tout le monde.
Dans le cadre de ma préparation pour le DS de maths de lundi dans les complexes..j'ai commencé à résoudre des exercices..je me bloque dans quelques questions dans un exercice ..j'espere que vous allez m'aider.
Enoncé de l'exercice :
Dans le plan .on considère l'application

:M(z)

M'(z'):z'=2 $\frac{(z-1}{z}$
1.1.Résoundre dans

l'équation z'=z
et écrivez dans la forme trigonométrique ses solutions

1.2.Prouvez que $Z_1^{8n}$ + $Z_2^{8n)$ = $2^{4n+1}$

2.Prouvez que $\frac{z'-Z_b}{z'-Z_a}$ =i $\frac{z-Z_b}{Z-Z_a}$

Donnez (AB) ( la droite (AB) )

C'est tout =) vous pouvez m'aider s'il vous plait dans les questions marquées en gras

re : Un exercice sur les complexes

Posté le 09-03-10 à 13:19

Posté par cailloux

Bonjour,

2) $\frac{z'-z_B}{z'-z_A}=\frac{2z-2-(1-i)z}{2z-2-(1+i)z}=\frac{(1+i)z-2}{(1-i)z-2}=\frac{1+i}{1-i}\,\frac{z-\frac{2}{1+i}}{z-\frac{2}{1-i}}$

$\frac{z'-z_B}{z'-z_A}=i\,\frac{z-z_B}{z-z_A}$

En passant aux arguments:

$Arg\left(\frac{z'-z_B}{z'-z_A}\right)=\frac{\pi}{2}+Arg\left(\frac{z-z_B}{z-z_A}\right)\;\;[2\pi]$

$(\vec{M'A},\vec{M'B})=\frac{\pi}{2}+(\vec{MA},\vec{MB})\;\;[2\pi]$

Or, si $M(z)\in\delta$ , $(\vec{MA},\vec{MB})=0\;\;[\pi]$ ou $M=A$ ou $M=B$

d' où $(\vec{M'A},\vec{M'B})=\frac{\pi}{2}\;\;[\pi]$ ou $M'=A$ ou $M'=B$

Ce qui signifie que $M'(z')$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ ;

Une petite réciproque permet de voir que le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point d' affixe 2 a un antécédent appartenant à $\delta$

L' image de $\delta(AB)$ est donc le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point d' affixe 2.

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