L'équation y''=-w²y

Posté par Deamone Deamone

Bonjour! J'ai un problème avec la première question d'un exercice de maths:
Voici l'énoncé:

En physique, le mouvement d'un oscillateur libre non amorti (oscillateur méca,ique: ressort, pendule dans le cas des petites oscillations, ou oscillateur électrique) est régi par une équation différentielle du second ordre, du type: (E) y''=-²y, où y'' est la dérivée seconde de la fonction y, et la constante est la puslation de l'oscillateur (différent de zéro)
On désigne l'ensemble des fonctions vérifiant (E)
1/ Montrer que les fonctions suivnates appartiennent à : la fonction nulle, les fonctions xcosx et xsinx, la somme de deux fonctions de et le produit d'une fonction de par un réel
En déduire que la fonction (avec A, B réels) xAcosx+Bsinx appartient à

Si j'ai bien compris la question, il suffit de montrer que les fonctions qui sont énoncées peuvent être solution de l'équation E? Si je me trompe pourriez vous m'expliquer?

Lorsqu'on dit, la fonction nulle, c'est f(x)=0? Dans ce cas, il suffit de faire f''(x)=-²f(x)
et c'est égal à zéro, mais est-ce que cela suffit pour qu'il est bien solution?
Je ne vois pas du tout comment on peut faire pour cosx et sinx.
pour la sommes de deux fonctions de et le produit d'une fonction de par un réel, j'imagine, qu'il suffit de dire que comme les fonctions appartiennent à leur somme et leur produit appartiennent également à , mais je ne suis pas certaine que ça soit bien argumenté et surtout que ça soit vrai!

Lorsqu'on a réussi à prouver tout ça, c'ets facile de montrer que Acosx+Bsinx appartient à . Mon problème concerne surtout de montrer que la liste de fonctions appartient bien à eux!

S'il vous plaît, aidez-moi! merci d'avance!

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Tu as donc : y" + ²y = 0

Pour voir si la fonction nulle est solution, remplace y par 0

Pour voir si la fonction x cos(x) est solution, remplace y par cos(x)

Posté par Deamone Deamone

d'accord... donc je fais comme ça pour toutes les fonctions...
Pour celles les sommes de fonctions qui appartiennent à, je les invente?

Merci beaucoup!

Posté par raymond raymond

Soient f et g deux fonctions solutions, (donc : f " + ²f = 0 et g " + ²g = 0), soient a et b deux réels.

Etudions si la fonction F = a.f + b.g est également solution.

On calcule :

F " + ²F

= (a.f + b.g)" + ²(a.f + b.g)

= a.f " + b.g " + a.²f + b.²g

= a.(f " + ²f) + b.(g " + ²g) = a.0 + b.0 = 0

Posté par Deamone Deamone

ok! merci, ça m'a été d'une grande aide, je suis en train de les faire, en fait c'est super facile (quand on sait comment faire! ;p)

Posté par raymond raymond

Il faut bien voir que la clé est la vérification de la formule : y " + ²y = 0