Isobarycentre d'un tétraèdre...

Posté par Guess38 Guess38

Bonjour à tous.

Je suis coincée sur un exercice sur les barycentres depuis tout à l'heure...

ABCD est un tétraèdre.
G est l'isobarycentre du tétraèdre ABCD.

1. a) A' est le centre de gravité de la face BCD.
Démontrer que G (l'isobarycentre donc) appartient au segment [AA'] _

b) De façon analogue, citer trois autres segments qui passent par G _

Je ne suis pas sûre d'avoir compris cette question ...

[ Je pense que vu que A' est le centre de gravité de face BCD, il s'agit également de l'isobarycentre, vu qu'aucun des points n'est pondéré. Donc l'isobarycentre de [AA'] se trouve être également l'isobarycentre du tétraèdre, donc le point G. Non ? ]
[ J'en déduis (par la même méthode) que les segments [BB'] (les lettres primés sont les milieux des faces opposés) [CC'] et [DD'] passent par G. ]

Je ne comprend pas la démonstration qui est attendue...

2) Démontrer que les segments qui joignent les milieux de deux côtés opposés du téraèdre sont concourants.

Je ne comprend pas du tout la question là par contre...

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par pacou pacou

Bonjour

1)

Non tu ne peux pas dire ça. G n'est pas le milieu de [AA']

A' est le centre de gravité de la face BCD
donc A' bar {(B,1);(C,1);(D,1)}
Or G bar {(A,1);(B,1);(C,1);(D,1)}
En utilisant la propriété d'associativité, tu peux dire:
G bar {(A,1);(A',3)}
Tu peux donc écrire:





Donc G[AA']

Même raisonnement avec
B', centre de gravité de la face ACD.
C', centre de gravité de la face ABD.
D', centre de gravité de la face ABC.

Posté par Guess38 Guess38

Oh, merci beaucoup !

Néanmoins, j'aimerais bien reprendre depuis le début, si ça ne vous dérange pas ...

G est l'isobarycentre du tétraèdre ABCD, donc G barycentre de (A;1),(B;1)(C;1)(D;1) car l'isobarycentre de deux points est le barycentre de (1,a) et (2,a) c'est ça ? Donc là on prend premièrement pour (A,a) et (B,a) puis pour (C,a) et (D,a) c'est ça ? Donc il l'est pour les 4 ?

A' est le centre de gravité de la face BCD, donc A ' barycentre de (B;1)(C;1)(D;1) car le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre de ce dernier & que l'isobarycentre de trois points est le barycentre de (1,a);(2,a) et (3,a), c'est ça ?

Par associativité, G barycentre de (A;1),(A';3) donc G appartient à (AA') car si G est le barycentre (A;1),(B;1)(C;1)(D;1) avec a+b+c+d # 0 et si A' est le barycentre de (B;1)(C;1)(D;1) avec b+c+d # 0 alors G est le barycentre de (A'; b+c+d) et (A;a) donc (A';3) et (A;1), est-ce juste ?

C'est comme ça que vous en êtes venus à ces résultats-là ?

Posté par pacou pacou

Un isobarycentre est un barycentre de plusieurs points affectés des mêmes coefficients (que l'on peut supposer être tous égaux à 1).
Tu peux l'écrire:
G bar {(A,1);(B,1);(C,1);(D,1)}
ou


Le centre de gravité d'un triangle est bien l'isobarycentre de ce triangle.
A' bar {(B,1);(C,1);(D,1)}

Propriété d'associativité : On ne change pas le barycentre de n points pondérés si l'on remplace certains points pondérés par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.

Tu pars de l'énoncé, tu écris:
G bar {(A,1);(B,1);(C,1);(D,1)}
or A' bar {(B,1);(C,1);(D,1)}
En utilisant la propriété d'associativité tu peux écrire directement:
G bar {(A,1);(A',3)}

donc:

Puis en utilisant la relation de Chasles:






Par conséquent G[AA']

Posté par Guess38 Guess38

Ah, d'accord ! Vraiment, merci beaucoup !

Je n'avais pas très bien saisi le sens de la propriété d'associativité, je viens de la comprendre là !

Cette réponse m'a beaucoup aidé !

Encore merci.

( Et merci également pour l'explication par rapport au calcul qui prouve que AG AA' )