**Défi pour mon 1000ème post :*:**

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 Défi pour mon 1000ème post  Posté le 07-03-10 à 17:48
Posté par blang blang

Le 1000ème post, ça s'arrose !

Après avoir trinqué, je vous invite à réfléchir à la question suivante :

Existe-t-il un entier  tel que l'écriture décimale de  commence (à gauche) par les  premiers chiffres de l'écriture décimale du nombre  ?

Pour info, les voici :

31415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132  0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235  4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859  5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303  5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 216420198

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 08-03-10 à 22:29
Posté par borneo borneo

Bonjour,

 Cliquez pour afficher
Je donne ma langue au chat  
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 16:05
Posté par blang blang

borneo>

 Cliquez pour afficher
Alors un indice : la réponse est la même avec les 1000 premiers chiffres du nombre  
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 16:08
Posté par lo5707 lo5707

bonjour

 Cliquez pour afficher
NON

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 17:09
Posté par blang blang

lo5707>

 Cliquez pour afficher

Citation :
NON

POURQUOI ?
 Défi Posté le 09-03-10 à 18:43
Posté par rogerd rogerd

blang>

Tu devrais modifier l'énoncé à chacune de tes interventions! (remplacer 1000 par 1001, puis par 1002 etc..)
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 18:51
Posté par blang blang

Bonjour rogerd 

Effectivement, la réponse serait identique.
 Défi Posté le 09-03-10 à 19:03
Posté par rogerd rogerd

blang>

Mais il te faudrait trinquer une fois de plus!

Bonjour les dégâts!
 Défi Posté le 09-03-10 à 19:17
Posté par rogerd rogerd

Mille excuses à tous pour avoir perturbé cette jolie énigme!
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 19:25
Posté par blang blang

Citation :
Mille excuses à tous pour avoir perturbé cette jolie énigme!

Merci à toi d'être venu trinquer, plutôt 
J'espère que tu offriras ta tournée quand ton tour sera venu, hé, hé...
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 20:52
Posté par Frank1010 Frank1010

Je tente probablement une réponse idiote.

 Cliquez pour afficher
Bon ce nombre N est forcément supérieur à 10. Puis d'après ce que j'ai vu en spé maths, décomposition en facteur premier du N! va avoir, et c'est là où je m'avance un peu le facteur premier 5^x ou x est interdminé. Néanmoins, plus ce x va être grand, plus il y aura de 0 à la fin de ce nombre. Or la 1000e décimale de pi est 8, donc c'est pas possible.

Au moins j'ai tenté.
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 09-03-10 à 21:43
Posté par blang blang

Frank1010>

 Cliquez pour afficher
Effectivement, plus N est grand, plus l'écriture décimale de N! contient de zéros à droite. Mais on s'intéresse à ce qui se passe à gauche...
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 10-03-10 à 00:51
Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir Blang.

A des niveaux de nombres très élevés, par exemple 10un milliard, 101000 nombres consécutifs, et même beaucoup plus peuvent être considérés comme quasi égaux, ainsi que leurs logarithmes décimaux.

Divisons par un milliard les logarithmes décimaux de 1 à 10un milliard, de telles sorte que les plus grands soient inférieurs à 1.

Soit d le rang de la décimale où diffèrent pour la première fois les logarithmes de pi/10 arrondi à la millième décimale et du nombre pi/10 arrondi à la millième décimale supérieure.

En cumulant les logarithmes, les d décimales des sommes consécutives finissent, à partir d'un certain rang, par balayer toutes les combinaisons possibles de d chiffres, dont les d premières décimales du logarithme décimale de pi/10.

En supposant que cela se produit à l'ajout de la Nième somme, N est la solution du problème;
 Défi Posté le 10-03-10 à 08:34
Posté par rogerd rogerd

Bonjour à tous! J'essaie aujourd'hui d'être un peu plus sérieux!

 Cliquez pour afficher

Il m'est venu aux aurores une idée. Je m'aperçois qu'elle est voisine de celle de plumemeteore. Je vais quand même la creuser:

a) Commencer en douceur:

1)Trouver la fonction f telle que f(p) soit le premier chiffre de l'écriture décimale de l'entier p (f est sans doute à base de logarithme et de partie entière).

2)Montrer que f(n!) prend toutes les valeurs de 1 à 9 (sans doute le point délicat de la démonstration mais je fonde des espoirs sur ln(n!)).

b) Raisonner de façon analogue sur les 1000 premiers chiffres.

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 10-03-10 à 14:09
Posté par blang blang

plumemeteore,rogerd>

 Cliquez pour afficher
Hé, hé, il va falloir mettre tout cela en forme 
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 10-03-10 à 14:36
Posté par Camélia Camélia 

Bonjour blang et félicitations pour ton 1000-ème topic et pour la jolie énigme... que je n'ai pas encore craquée!

 Cliquez pour afficher
Je parie pour OUI! L'application qui à n fait correspondre les k premiers chiffres de n! est hautement non injective, quant à prouver qu'elle est surjective... même pour le premier chiffre je n'ai pas une factorielle commençant par 9. Néanmoins il y a de très longues plages ou cette fonction est constante (par exemple de (10^k-1)! à (10^k+10^{k-1})!) sauf erreur... Donc, à méditer!
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 10-03-10 à 17:40
Posté par blang blang

Bonjour Camélia

 Cliquez pour afficher

J'aime bien l'expression "hautement non injective"
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 13-03-10 à 15:22
Posté par Camélia Camélia 

Et alors? Oui, ou non?
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 13-03-10 à 17:55
Posté par neves neves

bonsoir,

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ce ne serait pas un problème d'équipartition ?

j'avais fait un ds (il me semble que c'était X 92 enfin bref) qui parlait d'équirépartition modulo 1 et on avait établit que pour toute suite d'entier est le commencement d'une écriture décimale d'une puissance de 2.

voilà ça me fait penser à cela... je regarderai de plus près (quand j'aurai le temps ...))
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 08:52
Posté par blang blang

Camélia>

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Tu craques ? 

Ne le répète pas mais la réponse est OUI...

neves>

 Cliquez pour afficher
Le fait que la suite  soit équirépartie modulo 1 (ce qui est plutôt difficile à établir) permet de prouver une sorte de "loi de Benford" pour les puissances de 2.

Je n'en demande pas autant ; on peut déjà étudier la densité modulo 1 de la suite   

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 13:02
Posté par frenicle frenicle

Bonjour blang 

Merci pour cette belle énigme. Je crois que j'ai enfin une piste...

A bientôt !
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 13:43
Posté par blang blang

Bonjour et à bientôt, frenicle  
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 14:31
Posté par Camélia Camélia 

> blang

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Oui, je craque! je crois que ce n'est pas du tout dans mes cordes... mais je 'ai jamais douté qua la réponse soit OUI! J'attendrai patiemment la solution...
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 14:51
Posté par blang blang

Camélia> 

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Citation :
je crois que ce n'est pas du tout dans mes cordes... 

Alors là, permets-moi d'en douter 
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 14-03-10 à 19:25
Posté par frenicle frenicle

Bon, je me lance 

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Soit  l'entier qui s'écrit avec les 1000 premières décimales de , (, voir ci-dessus).

On cherche deux entiers naturels  et  tels que 

.

En prenant le logarithme décimal, que je note , cela s'écrit 

ou encore 

  (modulo 1).

Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, (c'est-à-dire, pour les dinosaures, si la mantisse de  est comprise entre celles de  et de ), il suffit de prendre pour  la partie entière de . 

Bouvard et Ratinet, si vous nous lisez...

Soit  un entier tel que .

( est très grand, au moins de l'ordre de 3.101000 puisque  ).

Montrons d'abord que l'on peut choisir  tel que  (mod. 1) et  

Comme  tend en décroissant vers 0 quand  tend vers l'infini, il existe un entier  tel que 

 implique .

A partir du rang , la différence entre deux termes consécutifs de la suite  est donc inférieure à . 

D'autre part, la suite  tend vers l'infini.

Donc quel que soit l'entier  supérieur à , il existe un entier  tel que  et .

On choisit un tel entier , et on considère les  nombres 

La différence entre deux termes consécutifs de cette suite  est égale à .

Modulo 1, on a :

Cette différence est donc comprise modulo 1 entre  et .

L'intervalle  est donc entièrement parcouru par cette suite croissante modulo 1 (puisqu'il y a  différences supérieures à ).

Comme la différence entre deux termes consécutifs est inférieure à , il y a au moins un terme compris modulo 1 entre  et , ce qu'il fallait prouver.

Sauf erreur, bien entendu.

J'ai l'impression désagréable qu'on peut nettement simplifier, mais je n'y arrive pas.

Belle prise de tête en tout cas !  Merci encore blang 

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 15-03-10 à 08:08
Posté par blang blang

Bravo frenicle

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J'ai étudié précisément ta preuve et tout m'a l'air de coller ! J'ai suivi le même principe que toi. Dès que j'aurai un peu plus de temps, je posterai quelques précisions... 
 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 15-03-10 à 09:50
Posté par blang blang

Voici donc les précisions promises :

 Cliquez pour afficher

- Dans toute la suite,  désigne une suite d'entiers strictement positifs.

- Si pour tout entier , on peut trouver  tel que l'écriture décimale de  commence à gauche par celle de , on dira que  peut commencer par une séquence arbitraire.

- Le logarithme décimal sera noté .

- Si  est une suite réelle, on note  et .

D'abord on a le :

Théorème 1 

Si la suite  est dense modulo 1 alors  peut commencer par une séquence arbitraire.

Preuve : aisée.

Exemple 1: Si  n'est pas une puissance de 10, alors  peut commencer par une séquence arbitraire. En effet, c'est l'irrationalité de  (facile à établir) qui permet de prouver que la suite  est dense modulo 1 et donc d'appliquer le théorème 1.

Ensuite, il est facile de prouver que :

Théorème 2

Soit  une suite réelle vérifiant  et , alors  est dense modulo 1.

En appliquant le résultat précédent à , on obtient :

Théorème 3

Soit  une suite d'entiers tels que  et  ; alors  peut commencer par une séquence arbitraire. 

Exemples 2: - Si  est un polynôme à coefficients dans  de degré >0 alors  peut commencer par une séquence arbitraire.

- Soit  le n-ième entier premier ; le théorème d'Hadamard sur la répartition des entiers premiers implique que  peut commencer par une séquence arbitraire.

Enfin, en généralisant les arguments développés par frenicle dans son post d'hier (19:25), on obtient :

Théorème 4 

Soit une suite  vérifiant  et  dense modulo 1, alors  est une suite dense modulo 1.

En appliquant le théorème 2 à , on voit que  est dense modulo 1 et on peut donc déduire du théorème précédent :

Théorème 5 

Soit  une suite réelle telle que  et . Alors  est dense modulo 1.

Exemples 3: En appliquant le théorème précédent à , on voit que  peut commencer par une séquence arbitraire.

Le même raisonnement marche également pour ...

 re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 17-03-10 à 10:48
Posté par frenicle frenicle

> blang

 Cliquez pour afficher

Evidemment, vu comme ça, c'est nettement plus propre et beaucoup plus général.

L'exemple 2 sur les nombres premiers est impressionnant, je trouve.

Joli !

  re : Défi pour mon 1000ème post  Posté le 17-03-10 à 14:24
Posté par Camélia Camélia 

Rebonjour

C'est vraiment de très belles maths! Bravo à frenicle et blang!

Ce sera difficile de faire mieux pour le 2000ème!
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