Les barycentres ; associativité.

Posté par Guess38 Guess38

Bonsoir.

Je bloque sur un second exercice concernant les barycentres, c'est vraiment un chapitre avec lequel j'ai du mal ...

ABC est un triangle et I, J, K les points tels que :

BI = 1/3BC
CJ = 3/4CA
AK = 2/5AB

a) Exprimer I comme barycentre de B et C, J comme barycentre de A et C, et K comme barycentre de A et B affectés de coefficients à préciser.

Voici ma réponse :

[ * On a BI = 1/3BC - Cette égalité nous montre que I appartient à BC.
On sait que AG = (b/a+b)AB
aGA + b(GB) = 0
Donc ici, b = 1 et a = 2
2IB + IC = 0
Ainsi, I est le barycentre de (B,2) et (C,1)

* On a CJ = 3/4CA
Cette égalité nous montre que J appartient à CA.
On sait que AG = (b/a+b)AB
aGA + b(GB) = 0
Donc ici, b = 3 et a = 1
JC + 3JA = 0
Ainsi, J est le barycentre de (C,1) et (A,3)

* On a AK = 2/5AB
Cette égalité nous montre que K appartient à AB.
On sait que AG = (b/a+b)AB
aGA + b(GB) = 0
Donc b = 2 et a = 3
3KA + 2KB = 0
Ainsi, K est le barycentre de (A,3) et (B,2) ]

Est-ce juste ? Je ne suis pas sûre de mes réponses ...

Posté par pgeod pgeod


tout ceci est bon.

on peut aller plus vite pour conclure.
exemple :

AK = 2/5AB
<=> 5AK = 3 AA + 2AB
<=>  K est le barycentre de (A,3) et (B,2) ]

...

Posté par Guess38 Guess38

D'accord ! Merci beaucoup.

Oui, effectivement, c'est plus rapide de cette façon-là...

Cependant, une question me pose à présent problème :

Démontrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

Je ne vois pas comment m'y prendre, c'est en rapport avec le centre de gravité du triangle ? L'isobarycentre ?

Posté par pgeod pgeod


non. c'est en rapport avec le barycentre.
I est le barycentre de (B,2) et (C,1)
J est le barycentre de (C,1) et (A,3)

Si (AI) et (BJ) sont concourantes en G,
on peut exprimer G comme bary de A et de I
et comme bary de B et de J.

G1 bary de (A; a) (I; 3)
<=> G1 bary de (A; a)(B,2) (C,1)

G2 bary de (B; b) (J; 4)
<=> G2 bary de (B; b) (C,1) (A,3)

on cherche les valeurs (évidentes) de a et de b
pour que G1 = G2

...

Posté par Guess38 Guess38

Est-ce que les valeurs sont a = 2 et b = 1 ?

Posté par Guess38 Guess38

I est le barycentre de (B,2) et (C,1)
J est le barycentre de (C,1) et (A,3)

Si (AI) et (BJ) sont concourantes en G, alors on peut exprimer G comme barycentre de A et de I et comme barycentre de B et de J.

G1 est le barycentre de (A;a) (I;3)
-> G1 bar{(A; a)(B,2) (C,1)}

G2 est le barycentre (B; b) (J; 4)
-> G2 bar{(B; b) (C,1) (A,3)}

Les valeurs de a et b pour que G1 = G2 sont a = 3 et b = 2.

On a bien G1 = G2 et (AI) et (BJ) concourantes.

(...)

De même pour (BJ) et (CK) :

J est le barycentre de (C,1) et (A,3)
K est le barycentre de (A,3) et (B,2)

Si (BJ) et (CK) sont concourantes en G, alors on peut exprimer G comme barycentre de B et de J et comme barycentre de C et de K.

G2 est le barycentre (B;2) (J;4)
-> G2 bar{(B; 2) (C,1) (A,3)}
G3 est le barycentre de (C;1) (K;5)
-> G3 bar{(C;1)(A,3) (B,2)}

On a bien G2 = G3 et (AI) et (BJ) concourantes.

Les trois droites sont donc concourantes.

Est-ce exact ? ...

Posté par pgeod pgeod


oui, c'est juste.

...