Matrices et vecteurs

Posté par bill159 bill159

Bonjour,

Je sollicite votre aide pour un exercice.

Soit A une matrice 4 x 3, et deux vecteurs de R^4.
Supposons que le système A = admet une seule et unique solution.
Que peut-on dire du système A =

Merci par avance.

(au moins des indications qui me permettraient de trouver.)

Posté par lafol lafol

Bonjour

si le système admet une unique solution, c'est qu'il est constitué de trois lignes correspondant à une matrice inversible, et d'une quatrième ligne qui est en fait une combinaison linéaire des trois autres

Posté par bill159 bill159

et comment on fait pour que le système soit inconsistant?

Posté par lafol lafol

que veux-tu dire par "inconsistant" ?

Posté par bill159 bill159

inconsistant = incompatible (pas de solution)

il faut mettre un pivot au second membre, on trouvera une ligne de ce type:

0 0 0 1 (erreur car 01)

Posté par lafol lafol

ton deuxième système peut l'être, justement ! ça dépendra des coordonnées de c

imaginons que les trois premières lignes donnent un système de Cramer, et que la 4° soit égale à L1-2L2+5L3

si les coordonnées de c ne sont pas telles que la 4° = la première moins deux fois la deuxième plus 5 fois la troisième, tu auras un système incompatible

Posté par bill159 bill159

j'ai pas entendu "Cramer" dans le vocabulaire, c'est quoi en fait?

Posté par lafol lafol

un système de n équations à n inconnues dont la matrice est inversible

Posté par bill159 bill159

ah ok c'est bon je l'ai vu mais pas sous ce nom...
Merci

Posté par bill159 bill159

Réponse: On ne peut rien dire sur ce système, ou bien qu'il admet une solution ou aucune solution.

Posté par kybjm kybjm

Soient E = ⁴ F = ³ , U = (u₁,u₂,u₃,u₄) la base canonique de E et V = (v₁,v₂,v₃) la  base canonique de F .
Ta matrice A est celle d'une application linéaire f de E dans F .
Tu supposes qu'il existe b F tel que f^-1(b) est un singleton {s}. Cela suppose donc que b Im(f) et comme f^-1(b) = s + Ker(f) tu as Ker(f) = {0} donc f est injective .
Soit alors c F .Si c Im(f) tu as f^-1(c) = et si  c Im(f) ,  f^-1(c) est un singleton .

Reste à traduire en termes de matrice et de déterminant :
.f est injective
.c   Im(f)  (pour pouvoir le nier).
et c étant donné à savoir comment trouver f^-1(c) .

(Tu peux aussi  jargonner en utilisant des termes comme "solutions " ,  "systèmes inconsistants " ou " incompatibles" , "systèmes compatibles " ...etc....  Si tu y vois plus clair ,tu as de la chance.)

Posté par bill159 bill159

Ce n'est pas dans le programme, enfin celui de fac en tout cas...

Posté par kybjm kybjm

Depuis quand  Ce n'est pas dans le programme, enfin celui de fac en tout cas... ?
Les facs feraient elles des maths au rabais ?

Posté par bill159 bill159

non le déterminant d'une matrice, selon mon prof sera vu à la deuxième année...

Posté par lafol lafol

Bonsoir

il me semble que les déterminants ne sont pas au programme des prépas écoles de commerce non plus (au moins dans la voie économique)

Posté par bill159 bill159

oui nous avons mathématiques comme tronc commun avec les filières économiques...