Équation différentielle

Posté par Fanzy Fanzy

On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction f dériable sur vérifiant la condition:
(C) f(-x)f'(x)=1 pour tout nombre réel x et f(0)=-4
(où f' désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.

1) On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur par g(x)=f'(x)f(x)

a)Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur .

b)Calculer la fonction dérivée de la fonction g.

c)En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.

d)On considère l'équation différentielle (E):y'=(1/16)y. Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu'elle vérifie f(0)=-4.

2)a)On sait que la fonction xe(x/16) est solution de l'équation différentielle (E).
Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur , de la fonction xKe(x/16), où K est un nombre réel quelconque.

b)Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur -4 en 0.

3)Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

Posté par Fanzy Fanzy

Aidez moi svp, c'est le seul exercice de mon DM que je n'arrive pas du tout!
Merci d'avance.

Posté par Labo Labo

bonjour,