Nombres complexes

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Nombres complexes

Posté le 08-03-10 à 12:52

Posté par fadlac

Salut

On considère trois points A(a) , B(b) et C(c) du plan complexe

comment peut-on monter que ??!

ABC est un triangle équilatéral

j ou j² sont des solution de l'équation az²+bz+c=0

a²+b²+c²= ab+ac+bc

Merci d'avance

re : Nombres complexes

Posté le 09-03-10 à 11:39

Posté par cailloux

Bonjour,

Quelques résultats sur $j$ :

$j^3=1$

$j^2+j+1=0$

$e^{i\frac{\pi}{3}}=-j^2$

Si $ABC$ est équilatéral indirect:

$C$ est l' image de $A$ dans la rotation de centre $B$ et d' angle $\frac{\pi}{3}$ :

$c-b=e^{i\frac{\pi}{3}}(a-b)$

$c-b=-j^2(a-b)$

$aj^2-b(1+j^2)+c=0$

$aj^2+bj+c=0$

Si $ABC$ est équilatéral direct:

$A$ est l' image de $C$ dans la rotation de centre $B$ et d' angle $\frac{\pi}{3}$ :

$a-b=e^{i\frac{\pi}{3}}(c-b)$

$a-b=-j^2(c-b)$

$a-b(1+j^2)+cj^2=0$

$a+bj+cj^2=0$

Puis en multipliant par $j$ :

$aj+bj^2+c=0$

$aj^4+bj^2+c=0$

On a montré que ABC est équilatéral si et seulement si $j$ ou $j^2$ étaient solution de l' équation $az^2+bz+c=0$

C' est à dire si et seulement si: $(aj^4+bj^2+c)(aj^2+bj+c)=0$

Ou encore $(aj+bj^2+c)(aj^2+bj+c)=0$

On développe:

$a^2+b^2+c^2+(j+j^2)(ab+ac+bc)=0$

$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$

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