Groupe Linéaire multiplicatif

Posté par greasf greasf

Bonsoir à tous,

Pourriez-vous me donner les différents éléments à montrer pour que GL_n() soit un groupe multiplicatif?

Ce qui est génant concerne en même temps la non connaissance des groupe généraux linéaires, je sais juste que ce sont des matrices inversibles, mais comment utiliser cette indication pour montrer que c'est un groupe multiplicatif?

Merci d'avance et bonne soirée

Posté par LeZebre LeZebre

Bonsoir
J'ai un doute sur la définition de GLn(Z) : ce n'est tout de même pas l'ensemble des matrices inversibles à coeffcients dans Z ? car dans ce cas là ce n'est pas un groupe multiplicatif : la matrice 2In n'admet pas d'inverse !
Ou alors je me plante complètement sur la définition de GLn(Z) ???

Posté par Mathemagic Mathemagic

Bonjour,
GL(n,Z) c'est les elements inversibles de M(n,Z), c'est un groupe comme l'ensemble des elements inversibles de n'importe quel anneau.

Posté par LeZebre LeZebre

Donc c'est l'ensemble des matrices à coefficients dans Z, inversibles, et dont l'inverse est aussi à coefficients dans Z
Alors dans ce cas, oui, c'est évident que c'est un groupe

Posté par Mathemagic Mathemagic

Vi Vi.

Posté par Mathemagic Mathemagic

Il n'est d'ailleurs pas difficile de prouver que ce sont les matrices de Mn(Z) de determinant plus ou moins 1.

Posté par greasf greasf

Bonjour à tous,
effectivement, le déterminant des Mn(Z) est bien égal à la norme de 1 (sinon le déterminant de la matrice inverse ne serait pas entier).

Mais concernant la méthode pour montrer qu'il s'agit d'un groupe multiplicatif, quels  sont les différents points (neutre, élément inverse et associatif seulement?)

Merci

Posté par Mathemagic Mathemagic

Ben c'est vrai dans tout anneau, l'associativité vient de l'associativité de la multiplication dans un anneau, l'existence du neutre vient du fait qu'on a un 1 dans l'anneau et l'existence d'un inverse vient du fait qu'on a gardé précisement ceux qui avaient un symétrique.