Exo de colle : détermination d'une borne inf

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Je fais 1) et 2) en même temps.
Je sais que det M = det (C1...Cn) où les Ci sont les vecteurs colonnes de M.
On montre rapidement que det M <= produit ( ||Ci||)  
(Par exemple en orthogonalisant la base C1..Cn det M = Produit mii (dans la nouvelle base) et c'est fini car |mii|<=|Ci|)
Donc le produit des ||Ci|| est superieur à 1.
||Cj|| = (somme des mij^2 pour i=1..n)^1/2
on note Kj=somme des mij^2 pour i=1..n

Tr(tM M ) = Somme des Kj
On sait que produit des Kj >= 1
Donc avec la concavité du log, on obtient :  K1+ ...+ Kn >= n

Donc phi(M)>= n.
C'est atteint pour M = In (la matrice idendité).

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C'est bien, en fait le min est même atteint sur tout .

J'ai procédé autrement, j'ai montré que décrivait l'ensemble des matrices symétriques définies positives (pour le produit scalaire ).

Ensuite on diagonalise et le problème revient à minimiser la somme des valeurs propres sachant que leur produit vaut 1, et là IAG.