Polynôme irréductible et reste de la division euclidienne

Posté par Thoy Thoy

Bonsoir,

Petit souci sur les polynômes qui sont tout nouveau, voila.
1) Soit de Q[X]. Je dois factoriser P sur R et montrer que P est irréductible sur Q.
2) Déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme X^n par X-1, (X-1)(X-2), X²+1, (X-1)², (X-1)(X²+1).

Je vois pas du tout comment faire...

Posté par Drysss Drysss

P=(X^2+1)^2 - 3X^2 = (X^2+racine(3)X+1)(X^2-racine(3)X+1) =...

1) Idée brutale : tu trouves tous les diviseurs de P et tu montres qu'aucune n'appartient à Q[X].

2) Idée générale : pour trouver le reste de la division euclidienne de P pas B(X), tu écris :
P(X)=Q(X)B(X)+R(X). deg R < deg B. Tu introduis les ro,...rp coefficients de R.
Puis tu prends x0..xk les racines de B et tu testes en xO..xk pour obtenir des équations.

Exemple : X^n=Q(X)*(X-1)(X-2) +aX+b
Donc a+b=1^n et a*2+b =2^n
Tu résouds et hop

Posté par Thoy Thoy

Je ne comprend pas la première ligne. Pour moi j'ai factorisé sur R, je vois que le discriminant est négatif donc racines complexes, il n'est pas factorisable donc il n'est pas divisible par un polynôme (dans R donc dans Q) donc il est irréductible...

Et je ne comprend pas non plus la 2) ..

(désolée c'est tout nouveau c'est pour ça)

Posté par LeZebre LeZebre

Question 1 :
Tu factorises dans C, puis tu peux regrouper 2 par 2 les facteurs dans C pour obtenir des facteurs dans R
Car tu sais peut être que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 3 est factorisable dans R, comme produit de facteurs du premier ou du second degré
Donc ta réponse : "il n'est pas factorisable dans R" est fausse
Ensuite cette factorisation est unique à des constantes multiplicatives près, il suffit de vérifier que les facteurs dans R ne peuvent devenir des facteur dans Q par multiplication par une constante réelle

Posté par Thoy Thoy

.. Je ne vois quand même pas trop :/

Posté par LeZebre LeZebre

As tu trouvé les 4 racines complexes ?
si oui, elles sont 2 à 2 conjuguées et en les regroupant tu obtiens une factorisation de ton polynôme en 2 polynôme de degré 2
Je n'ai pas fait les calculs, mais ces 2 polynômes sont certainement de la forme x²+ax+b ont a et b sont des irrationnels
Donc tout multiple de ce polynôme sera de la forme tx²+atx+bt avec t réel, et il est impossible d'avoir en même temps t rationnel et at rationnel, donc pas possible de factoriser dans Q[X]