Probabilités : fiabilité d'un alcootest

Posté par concours_A concours_A

Bonjour les rois et reines des maths

Je passe dans quelques jours un concours dans l'administration. Je m'acharne sur des annales et je ne comprends pas un exercice qui me paraît simple, même TROP simple. Je suis certaine d'un piège tendu... mais je voudrais en avoir confirmation. Voici l'exercice qui me torture :

Un alcootest a été mis au point. Lorsqu'une personne est en état d'ébriété, l'alcootest se révèle positif avec une probabilité de 0,96. Cependant, quand une personne n'est pas en état d'ébriété, il a une probabilité de 0,02 de se révéler positif.

Dans un département donné, 3% des conducteurs conduisent en état d'ébriété. Calculer la probabilité qu'un conducteur de ce département ayant un alcootest positif ne soit pas en état d'ébriété.

Ma réponse... pour moi c'est 0,02, selon l'énoncé.

Je nomme A l'évènement "Une personne est en état d'ébriété". Dans mon département p(A)=0,03. Je nomme B l'évènement "l'alcootest" est positif. L'énoncé dit p(B|A)=0,96 (lire B sachant A, donc alcootest positif sachant que le conducteur est ivre) et p(B|non(A))=0,02 (lire B sachant non A, donc alcootest positif sachant que le conducteur n'est pas ivre)...

L'efficacité de l'alcootest, à mon sens, ne dépend pas du nombre de conducteurs ivres dans un département...

Pouvez-vous me donner vos lumières ?

PS : je n'ai qu'un simple BTS, j'ai été diplômée en 1990 !

Posté par Ircam Ircam

Bonjour, (même si je ne pense pas pouvoir prétendre qu'on s'adresse à moi par "roi des maths" !)

Bon, moi, je fais un arbre.
Donc : A : Personne en état d'ébriété
: Personne sobre
et
B : Alcootest positif
: Alcootest négatif


             B
    0.96  /
          /
         A ----
0.03 /          0.04
     /    
/
      \    
        \  
  0.97   \            
          ----- B
            \          0.02
    0.98     \
              



Donc pour moi, P() = 0.97 * 0.02 = 0.194

Votre réponse, 0.02, est générale. D'ailleurs ça m'étonnerais que la réponse à la question soit dans l'énoncé.
En fait, ici, on demande dans un cas précis, combien de personnes sobres sont susceptibles d'obtenir un alcootest positif, sachant 3% des conducteurs conduisent en état d'ébriété.
Ici, la probabilité qu'une personne obtienne un alcootest positif alors qu'elle est sobre, eh bien c'est la probabilité que la personne soit sobre multipliée par la probabilité que l'alcootest sur lequel la personne tombe affiche positif.

Voila, selon moi, la réponse.
Cordialement, Ircam

Posté par concours_A concours_A

Bonsoir et merci au "prince" des maths à défaut du roi...

Je viens de me rendre compte de mon erreur. J'ai retrouvé mon vieux livre de probas et de statistiques. J'ai exhumé un vieux souvenir : les arbres conditionnels et la formule de Bayes, me confirmant avoir bien confondu les probas conditionnelles (A sachant B) et les évènements dépendants (A et B). Donc il suffit d'appliquer p(A|B)=p(A et B) / p(B)

En revanche, une question : la somme de toutes les probabilités sur le même niveau d'un arbre ne sont-elles pas supposées faire 1 ? Je m'explique : les feuilles de l'arbre sont les évènements "A et B", "non A et B", "A et non B", "non A et non B". La somme de tout ce beau monde fait 2 sur votre arbre... A moins qu'il ne s'agisse de toutes les feuilles d'un même nœud ?

Posté par Ircam Ircam

Oui, c'est ça. Je cite mon cours : "La somme des probabilités des évènements accrochés à un nœud est égale à 1."

Il le faut pas regarder au même niveau sur l'arbre entier, c'est nœud par nœud.

Cordialement, Ircam

Posté par concours_A concours_A

Merci beaucoup Ircam. Nous sommes entièrement d'accord : je viens d'avoir la confirmation sur mon livre... Mes vieux de "jeune" quadragénaire me trahissent !

JE soumets dans les prochaines minutes un autre exercice, cette fois-ci sur une loi de probabilité discrète.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour ConcoursA,

\\Tu avais raison de te méfier car ta conclusion instinctive est fausse : l'efficacité d'un test qui présente des faux négatifs et des faux positifs dépend bel et bien de la proportion d'atteints dans la population soumise au test.
C'est un problème classique, habituellement posé à propos de la détection de maladies en médecine. Les réponses intuitives (autour de 0,02) sont loin d'être correctes ; la réponse correcte demande quelques explications, et ne peut se réduire à l'application d'une formule magique que l'on serait censé connaître par coeur.

En notant l'événement {la personne testée est ivre} et l'événement complémentaire {la personne testée n'est pas ivre}, "" l'événement {le test est positif} et "" l'événement {le test est négatif}, les données sont :
- sensibilité = 1 - taux de faux négatifs = 1 - proportion de négatifs parmi les ivres = proportion de positifs parmi les ivres =
- sélectivité = 1 - taux de faux positifs = 1 - proportion de positifs parmi les non-ivres =
- prévalence = proportion d'ivres dans la population testée =
On nous demande de calculer .

On utilise pour cela :

1) le théorème des probabilités composées qui donne ici, en ne considérant que la deuxième égalité et en replaçant par et par :

et nous sont fournis par l'énoncé ; reste à déterminer , ce pourquoi il faut faire appel à :

2) le théorème des probabilités totales (où les forment un système complet d'événements) qui donne ici :

(et donc ), et nous sont fournis par l'énoncé.
Je te laisse combiner tour cela pour arriver à , et finalement à qui est demandé.

Bon courage.

Posté par Pierre_D Pierre_D


Vu le temps qu'il m'a fallu pour rédiger tout ça, je vois que j'arrive un peu comme les carabiniers !

Posté par concours_A concours_A

Bonsoir Pierre_D,

Permettez-moi de vous remercier pour cette réponse claire et précise. J'ai très bien compris vos explications, je ne devrais normalement plus tomber dans de tels pièges. J'ai honte de m'être fait avoir !

J'exprime mon admiration quant à la présentation, mais comment faites-vous pour obtenir de belles expressions mathématiques ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

concours_A,

Pour la présentation des équations j'utilises le langage LaTeX, que l'on peut insérer entre les balises fournies par le bouton LTX en bas de la fenêtre de réponse ; mais pour savoir quoi mettre entre ces balises, il faut commencer par consulter un tutoriel (il doit y en avoir un sur le site, et il vaut mieux viser simple au début pour ne pas se décourager).

Pour ton problème et pour que tu puisses te contrôler, je te donne ma réponse , ce qui est fort loin de ce que l'on a tendance à penser instinctivement !

Posté par Ircam Ircam

On utilise le LaTeX :

Concernant les probabilités discrètes, je ne pourrait pas, de mon côté, vous aider, nous venons juste en cours de commencer le chapitre des proba.

Ircam

Posté par concours_A concours_A

Merci Pierre_D, nous avons le même résultat !

Posté par Pierre_D Pierre_D


Pour illustrer l'influence de la prévalence (taux de conducteurs ivres dans la population testée) sur la réponse :

Posté par concours_A concours_A

Bonjour,

Je suis scotchée à voir cette courbe ! A bien lire cette courbe, il y a des risques patents pour un conducteur non ivre d'être testé "positif" alors que le taux de conducteurs ivres est assez faible, je veux dire moins de 5% ?

Posté par Pierre_D Pierre_D


Oui, je confirme, et c'est bien pour cela qu'un dosage sérieux d'alcool dans le sang est nécessaire pour confirmer ou infirmer un alcootest positif !
Voilà une illustration du fait qu'il ne faut pas trop faire confiance à son instinct en probabilité et en statistique ...