Rang d'une matrice.

Posté par olive_68 olive_68

Bonjour ,

Soit .

Soit .

Déterminer le rang de la matrice :    

J'ai vu qu'on pouvait simplifier pas mal de truc en retranchant la (i+1)-ième colonne à la i-ième colonne.
On répète encore cette opération, la matrice est presque remplis que avec des 2.

On fait la même chose avec les lignes et au final on trouve une matrice avec des zéros partout sauf en trois endroits ( dans l'avant dernière ligne on a un truc en alpha dans la dernière on a un truc en alpha et un en alpha carré ) j'en ai conclus que c'était de rang trois mais apparement c'est de rang 2, pourquoi ?

Merci d'avance

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour olive,

Sauf erreur, je trouve pour n=3 det A₃=-8 donc non nul
Le rang serait donc au moins 3.

Posté par kybjm kybjm

Det(A) = Det(B) où B M_n(K) vérifie B(p,q) = 0 si q < p et B(1,n) = B(2,n-1) =....= B(k,n+1-k) =...= B(n,1) = 2 .
A est donc inversible , donc de rang n .

Posté par Narhm Narhm

Bonjour Olive !

Comment vas-tu ?

La matrice A n'est pas inversible pour tout n. Par exemple pour n=4 et même au delà, elle ne l'est plus !
En fait, on peut séparer les cas selon n.

   ¤ Si n=1,3, la matrice A est inversible pour tout paramètre alpha.
   ¤ Si n=2, A est inversible sauf pour 2 valeurs précises qui lui impose alors un rang égale à 1.

   ¤ Si n4, on peut ramener via des opérations élémentaires de lignes et colonnes la matrice A a une matrice de meme rang, et plus simple.
J'ai griffonné un truc donc je te laisse vérifier si ce que je te propose mene bien à rg(A)=3 :



Finalement et si j'ai pas écrit de betise,   est équivalente à (qui est bien de rang 3 elle).

Posté par kybjm kybjm

(Pour faire oublier ma bourde d'hier soir , à moins que ce que je vais raconter en soit une autre):

1.On a : (X + 3)² = 3(X+2)² - 3(X + 1)² + X² .

2.Soient n est un entier 3 et x . Posons , pour p {1,2,...,n}  , v_p = ((x+p)²,(x+p+1)²,....,(x+p+n-1)²) ⁿ = E .
La matrice A_n des coordonnées des v_k dans la base canonique de E est celle dont on cherche le rang (x remplace )
Si V = .v₁+....+.v_n , les relations :
v_n = 3v_n-1 - 3v_n-2 + 3v_n-3
......
v₄ = 3v₃ - 3v₂ + 3v₁
qui résultent de 1. montrent que  V = .v₁+.v₂+.v₃.
Comme {v₁,v₂},v₃} est libre (Det(A₃) = -8) on a : dim(V) = 3 = rang(A_n) .

Posté par olive_68 olive_68

Bonjour à tous

Content d'avoir eu autant de réponse ^^ Merci à tous

Narhm >> _{Ca va merci ! et toi ?} C'est plus ou moins ce que j'ai fais en khôlle, j'ai dû abusé de simplifications et j'ai dézingué des trucs qu'il ne fallait pas ^^.

kybjm >> Bien vu !! si j'avais pu sortir ça en khôlle ... en tout cas bien vu